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$数学\textrm{III}$　$関数の連続性(1)$

$\displaystyle f(x) =\lim_{n \to \infty}\frac{x^{2n}-x^{2n-1}+ax^2+bx}{x^{2n}+1}$
が連続関数となるように$aとb$を定めよ。

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次の条件によって定められる数列$a_n$の極限を求めよ。
(1)　$a₁=0$、$a₂=1$、$3a_{n+2}=a_{n+1}+2a_n$
(2)　$a₁=0$、$a₂=1$、$a_{n+2}-7a_{n+1}+10a_n=0$
(3)　$a₁=1$、$a₂=2$、$a_{n+2}-6a_{n+1}+9a_n=0$

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次の無限級数の収束・発散について調べ、
収束する場合は、その和を求めよ。
$3 - \frac{5}{2} + \frac{5}{2} - \frac{7}{3} + \frac{7}{3} - \frac{9}{4} + \frac{9}{4}- \frac{11}{5}…$

$1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{9}+ \frac{1}{8} + \frac{1}{27} + \frac{1}{16} +…$

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正三角形ABCの内接円Ｏ₁の半径をrとする。辺AB、ACと円Ｏ₁に接する円をＯ₂とし、辺AB、ACと円Ｏ₂に接する円をＯ₃とする。このように、次々に小さくなる円を作るとき、すべての円の面積の総和を求めよ。

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第3問
放物線y=$x^2$のうち-1≦x≦1を満たす部分をCとする。
座標平面上の原点Oと点A(1,0)を考える。k＞0を実数とする。点PがC上を動き、点Qが線分OA上を動くとき
$\overrightarrow{OR}$=$\frac{1}{k}\overrightarrow{OP}$+$k\overrightarrow{OQ}$
を満たす点Rが動く領域の面積をS(k)とする。
S(k)および$\displaystyle\lim_{k \to +0}S(k)$,　$\displaystyle\lim_{k \to \infty}S(k)$を求めよ。

2018東京大学理系過去問