図形の性質
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図形の性質 4STEP数A 198,193 内接円の性質【TAKAHASHI名人がていねいに解説】
単元：
#数A#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#数学(高校生)
教材：
#4STEP(4ステップ）数学#4STEP数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
198
△ABCの内接円が辺BC,CA, AB と接する点を
それぞれD,E, Fとする。BC=a, CA=b, AB=c とし
△ABC の内接円の半径をrとするとき
次の問いに答えよ。
(1) 線分 BD, CE, AFの長さをa,b,cを用いて表せ。
(2) △ABC の面積をa,b,c,rを用いて表せ。
(3) a=5,b=3,c=4 のとき,rの値を求めよ。
193
鋭角三角形ABCの頂点Aから
BCに下ろした垂線をAD とし
Dから AB, ACに下ろした垂線
をそれぞれDE,DF とするとき
四角形BCFE は円に内接すること
を証明せよ。
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198
△ABCの内接円が辺BC,CA, AB と接する点を
それぞれD,E, Fとする。BC=a, CA=b, AB=c とし
△ABC の内接円の半径をrとするとき
次の問いに答えよ。
(1) 線分 BD, CE, AFの長さをa,b,cを用いて表せ。
(2) △ABC の面積をa,b,c,rを用いて表せ。
(3) a=5,b=3,c=4 のとき,rの値を求めよ。
193
鋭角三角形ABCの頂点Aから
BCに下ろした垂線をAD とし
Dから AB, ACに下ろした垂線
をそれぞれDE,DF とするとき
四角形BCFE は円に内接すること
を証明せよ。
図形の性質 4STEP数A 191,192 円に内接する四角形【TAKAHASHI名人がていねいに解説】
単元：
#数A#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#数学(高校生)
教材：
#4STEP(4ステップ）数学#4STEP数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
191
右の図のように，AB=AC である二等辺三角形ABCの外接円Oの弧 BC 上に点Dをとり、線分
DCのCを越える延長上に BD=CE となる点Eをとる。このとき、△ADE は二等辺三角形であることを証明せよ。
192
鋭角三角形ABCにおいて，辺BC, CA,ABの中点を、それぞれD,E, Fとすると，△AFE,△ BDF, △CED の外接円は，どれもAABCの外心Oを通ることを証明せよ。
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191
右の図のように，AB=AC である二等辺三角形ABCの外接円Oの弧 BC 上に点Dをとり、線分
DCのCを越える延長上に BD=CE となる点Eをとる。このとき、△ADE は二等辺三角形であることを証明せよ。
192
鋭角三角形ABCにおいて，辺BC, CA,ABの中点を、それぞれD,E, Fとすると，△AFE,△ BDF, △CED の外接円は，どれもAABCの外心Oを通ることを証明せよ。
図形の性質 4STEP数A 233,234 空間図形応用2【TAKAHASHI名人がていねいに解説】
単元：
#数A#図形の性質#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#数学(高校生)
教材：
#4STEP(4ステップ）数学#4STEP数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
立方体の各面の対角線の交点を頂点とし、
隣り合った面どうしの頂点を結ぶことによって、
立方体の中に正八面体ができる。
このとき、次の場合について、
正八面体の体積を求めよ。
(1) 立方体の1辺の長さが 10
(2) 正八面体の1辺の長さが6
一辺の長さが５の正八角形について、
次のものを求めよ。
(1) 正八角形の体積V
(2) 正八角形に内接する球の半径ｒ
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立方体の各面の対角線の交点を頂点とし、
隣り合った面どうしの頂点を結ぶことによって、
立方体の中に正八面体ができる。
このとき、次の場合について、
正八面体の体積を求めよ。
(1) 立方体の1辺の長さが 10
(2) 正八面体の1辺の長さが6
一辺の長さが５の正八角形について、
次のものを求めよ。
(1) 正八角形の体積V
(2) 正八角形に内接する球の半径ｒ
図形の性質 4STEP数A 229,230 空間図形応用1【TAKAHASHI名人がていねいに解説】
単元：
#数A#図形の性質#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#数学(高校生)
教材：
#4STEP(4ステップ）数学#4STEP数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
四面体ABCD において，辺AB と辺CDが垂直ならば，頂点Aから平面BCDに下ろした垂線AHと，頂点Bから平面CDAに下ろした垂線BKは交わることを示せ。ただし，HとB，KとAはそれぞれ一致しないものとする。
直方体 ABCD-EFGHにおいて，
辺AB，AD，AEの長さをそれぞれa，b，cとする。
また，頂点Aから直線FHに下ろした垂線をAK とする。
このとき，次の問いに答えよ。
(1) EK⊥FHであることを証明せよ。
(2) 垂線AKの長さを求めよ。
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四面体ABCD において，辺AB と辺CDが垂直ならば，頂点Aから平面BCDに下ろした垂線AHと，頂点Bから平面CDAに下ろした垂線BKは交わることを示せ。ただし，HとB，KとAはそれぞれ一致しないものとする。
直方体 ABCD-EFGHにおいて，
辺AB，AD，AEの長さをそれぞれa，b，cとする。
また，頂点Aから直線FHに下ろした垂線をAK とする。
このとき，次の問いに答えよ。
(1) EK⊥FHであることを証明せよ。
(2) 垂線AKの長さを求めよ。
図形の性質 4STEP数A 188,189,190 円に内接する図形【中学受験のドラえもんがていねいに解説】
単元：
#数A#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#数学(高校生)
教材：
#4STEP(4ステップ）数学#4STEP数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
188 円oにおいて、平行な2つの弦をAA´、BB´とし、AB´とA´Bが円の内部の点Pで交わっている。このとき、∠APB＝∠AOBであることを証明せよ。
189 鋭角三角形ABCの垂心をHとし、AHがBCと交わる点をD、△ABCの外接円と交わる点をEとする。このとき、Dは線分HEの中点であることを証明せよ。
190下の図において、角θを求めよ。
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188 円oにおいて、平行な2つの弦をAA´、BB´とし、AB´とA´Bが円の内部の点Pで交わっている。このとき、∠APB＝∠AOBであることを証明せよ。
189 鋭角三角形ABCの垂心をHとし、AHがBCと交わる点をD、△ABCの外接円と交わる点をEとする。このとき、Dは線分HEの中点であることを証明せよ。
190下の図において、角θを求めよ。
図形の性質 4STEP数A 180,181 三角形の関係証明【中学受験のドラえもんがていねいに解説】
単元：
#数A#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#数学(高校生)
教材：
#4STEP(4ステップ）数学#4STEP数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
180 △ABCの内部の1点をPとするとき、AP＋BP＋CP＞1/2（AB＋BC＋CA）を証明せよ。
181 上の図において、点Pが線分CD上を動くとき、線分の和AP＋PBの最小値とそのときの点Pの位置を求めよ。
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180 △ABCの内部の1点をPとするとき、AP＋BP＋CP＞1/2（AB＋BC＋CA）を証明せよ。
181 上の図において、点Pが線分CD上を動くとき、線分の和AP＋PBの最小値とそのときの点Pの位置を求めよ。
図形の性質 4STEP数A 226,227,228 円の位置関係【TAKAHASHI名人がていねいに解説】
単元：
#数A#図形の性質#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#数学(高校生)
教材：
#4STEP(4ステップ）数学#4STEP数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
空間内の異なる2つの直線ℓ 、m と異なる2つの平面α,βについて，
次の記述は常に正しいか。
(1) ℓ⊥α、ｍ⊥αならば、ℓ⊥ｍである。
(2) ℓ⊥α、ｍ⊥αならば、α//βである。
(3) ℓ//α、ｍ//αならば、ℓ//ｍである。
(4) ℓ//α、ｍ⊥αならば、ℓと並行でｍと垂直な直線がある。
正六角柱を底面に
平行でない1つの平面で切ったものである。
六角形ABCDEF について，
辺AB と平行な辺を答えよ。
立方体について、次の問いに答えよ。
(1) 辺BF と垂直な面をすべて答えよ。
(2) 平面 BFHD と平行な辺をすべて答えよ。
(3) この立方体に，平行な位置関係にある面は何組あるか。
(4) 平面ABGHと垂直な面をすべて答えよ。
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空間内の異なる2つの直線ℓ 、m と異なる2つの平面α,βについて，
次の記述は常に正しいか。
(1) ℓ⊥α、ｍ⊥αならば、ℓ⊥ｍである。
(2) ℓ⊥α、ｍ⊥αならば、α//βである。
(3) ℓ//α、ｍ//αならば、ℓ//ｍである。
(4) ℓ//α、ｍ⊥αならば、ℓと並行でｍと垂直な直線がある。
正六角柱を底面に
平行でない1つの平面で切ったものである。
六角形ABCDEF について，
辺AB と平行な辺を答えよ。
立方体について、次の問いに答えよ。
(1) 辺BF と垂直な面をすべて答えよ。
(2) 平面 BFHD と平行な辺をすべて答えよ。
(3) この立方体に，平行な位置関係にある面は何組あるか。
(4) 平面ABGHと垂直な面をすべて答えよ。
図形の性質 4STEP数A 210,211 円の位置関係【TAKAHASHI名人がていねいに解説】
単元：
#数A#図形の性質#方べきの定理と２つの円の関係#数学(高校生)
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#4STEP(4ステップ）数学#4STEP数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
図のように，数直線上の原点を中心とする半径3の円Oと、
この数直線上を動く点Pを中心とする半径2の円Pがある。
Pの座標をtとするとき,次の件を満たすとの値,またはtの値の範囲を求めよ。
(1) 2円O，Pの共通接線が4本引ける。
(2) 2円O，Pの共有点が1個である。
(3) 2円O，Pの共通接線が、座標が6である数直線上の点Aを通る。
図のように，半径3の外接する2円A, B
が、半径8の円Oに内接している。2円A, B
に外接し，円Oに内接する円Cの半径を求めよ。
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図のように，数直線上の原点を中心とする半径3の円Oと、
この数直線上を動く点Pを中心とする半径2の円Pがある。
Pの座標をtとするとき,次の件を満たすとの値,またはtの値の範囲を求めよ。
(1) 2円O，Pの共通接線が4本引ける。
(2) 2円O，Pの共有点が1個である。
(3) 2円O，Pの共通接線が、座標が6である数直線上の点Aを通る。
図のように，半径3の外接する2円A, B
が、半径8の円Oに内接している。2円A, B
に外接し，円Oに内接する円Cの半径を求めよ。
図形の性質 4STEP数A 177,178,179 三角形の辺と角【中学受験のドラえもんがていねいに解説】
単元：
#数A#図形の性質#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#数学(高校生)
教材：
#4STEP(4ステップ）数学#4STEP数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
177：∠B＝90度の直角三角形ABCの辺BC上に頂点と異なる点Pを取る時、AB＜AP＜ACであることを証明せよ。
178：△ABCにおいて、AB＞ACとする。∠Aの二等分線と辺BCの交点をPとする時、次の①～④のうちで常に成り立つものを全て選べ。
①BP＝PC ②AB＞AP ③AC＞AP ④AC＞CP
179：次の長さの線分を3辺とする三角形が存在するようなXの値の範囲を求めよ。
(1)X、２、６ (2)３X、X＋４、X＋２
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177：∠B＝90度の直角三角形ABCの辺BC上に頂点と異なる点Pを取る時、AB＜AP＜ACであることを証明せよ。
178：△ABCにおいて、AB＞ACとする。∠Aの二等分線と辺BCの交点をPとする時、次の①～④のうちで常に成り立つものを全て選べ。
①BP＝PC ②AB＞AP ③AC＞AP ④AC＞CP
179：次の長さの線分を3辺とする三角形が存在するようなXの値の範囲を求めよ。
(1)X、２、６ (2)３X、X＋４、X＋２
図形の性質 4STEP数A 169,170,171 チェバメネラウス【中学受験のドラえもんがていねいに解説】
単元：
#数A#図形の性質#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#数学(高校生)
教材：
#4STEP(4ステップ）数学#4STEP数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
169(1)：△ABCの辺AB、AC上に、それぞれ頂点と異なる点D、Eを取る時、等式【△ADE/△ABC】＝【AD/AB】×【AE/AC】が成り立つことを証明せよ。
169(2)：△ABCの辺BCを２：３、辺CAを３：１、辺ABを１：２に内分する点をそれぞれD、E、Fとする時、次の値を求めよ。
(ア)△AFE/△ABC (イ)△DEF/△ABC
170：△ABCの辺ABを２：３に内分する点をR、辺ACを５：６に内分する点をQとする。線分BQと線分CRの交点をOとする。直線AOと辺BCの交点をPとする。
(1)BP：PCを求めよ。 (2)△OBC：△ABCを求めよ。
171：△ABCの辺ABを２：１に内分する点をD、辺ACを３：１に内分する点をEとする。直線DEとBCの交点をPとする。
(1)BP：PCを求めよ。 (2)DP：PEを求めよ。
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169(1)：△ABCの辺AB、AC上に、それぞれ頂点と異なる点D、Eを取る時、等式【△ADE/△ABC】＝【AD/AB】×【AE/AC】が成り立つことを証明せよ。
169(2)：△ABCの辺BCを２：３、辺CAを３：１、辺ABを１：２に内分する点をそれぞれD、E、Fとする時、次の値を求めよ。
(ア)△AFE/△ABC (イ)△DEF/△ABC
170：△ABCの辺ABを２：３に内分する点をR、辺ACを５：６に内分する点をQとする。線分BQと線分CRの交点をOとする。直線AOと辺BCの交点をPとする。
(1)BP：PCを求めよ。 (2)△OBC：△ABCを求めよ。
171：△ABCの辺ABを２：１に内分する点をD、辺ACを３：１に内分する点をEとする。直線DEとBCの交点をPとする。
(1)BP：PCを求めよ。 (2)DP：PEを求めよ。
【TAKAHASHI名人がていねいに解説】図形の性質 4STEP数A 218,219,220 作図問題
単元：
#数A#図形の性質#方べきの定理と２つの円の関係#数学(高校生)
教材：
#4STEP(4ステップ）数学#4STEP数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
線分ABが与えられたとき, 線分ABを斜辺とし, ∠BAC=60° である直角三角形ABC を作図せよ。
右の図のような円があり,その周上に点Aがある。
Aを頂点の1つとし、他の5つの頂点がいずれもこの円周上にあるような正六角形を作図せよ。
右の図のように,直線と円Oおよびその中心が与えられている。
直線lに平行な円Oの接線を作図せよ。
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線分ABが与えられたとき, 線分ABを斜辺とし, ∠BAC=60° である直角三角形ABC を作図せよ。
右の図のような円があり,その周上に点Aがある。
Aを頂点の1つとし、他の5つの頂点がいずれもこの円周上にあるような正六角形を作図せよ。
右の図のように,直線と円Oおよびその中心が与えられている。
直線lに平行な円Oの接線を作図せよ。
【TAKAHASHI名人がていねいに解説】図形の性質 4STEP数A 204,205 方べきの定理
単元：
#数A#図形の性質#方べきの定理と２つの円の関係#数学(高校生)
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#4STEP(4ステップ）数学#4STEP数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
直径が2である円Oにおいて、1つの直径ABをBの方に延長して、BC=2ABとなる点Cをとる。また、Cから円Oに接線CTを引き、その接点をTとする。線分CT,ATの長さを求めよ。
右の図のように、点Aで同じ直線に接する2円O、O´がある。
この接線上のAと異なる点Bを通る1本の直線が円Oと2点C,Dで交わり, Bを通る他の直線が円 O′と2点E,Fで交わるとする。このとき, 4点 C, D, E, F は1つの円周上にあることを証明せよ。
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直径が2である円Oにおいて、1つの直径ABをBの方に延長して、BC=2ABとなる点Cをとる。また、Cから円Oに接線CTを引き、その接点をTとする。線分CT,ATの長さを求めよ。
右の図のように、点Aで同じ直線に接する2円O、O´がある。
この接線上のAと異なる点Bを通る1本の直線が円Oと2点C,Dで交わり, Bを通る他の直線が円 O′と2点E,Fで交わるとする。このとき, 4点 C, D, E, F は1つの円周上にあることを証明せよ。
【中学受験のドラえもんがていねいに解説】図形の性質 4STEP数A 163,164,165 図形の性質の基本②
単元：
#数A#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#数学(高校生)
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#4STEP(4ステップ）数学#4STEP数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
163：三角形ABCの内心をIとし、3辺BC、CA、ABに関してIと対称な点をそれぞれP,Q,Rとする。Iは三角形PQRについてどのような点か？
164：三角形ABCの内心をI、角Aの内部の傍心をＩ₁とする時、次の問いに答えよ。
（１）角ＩＢＩ₁の大きさを求めよ。
（２）三角形ＡＢＣの外接円は線分ＩＩ₁を二等分することを証明せよ。
165：ＡＢ＝ＡＣである二等辺三角形ＡＢＣの頂点Ａから辺ＢＣに下ろした垂線をＡＤとする。
角Ｂの内部の傍接円ＩＢの半径はＡＤに等しいことを証明せよ。
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163：三角形ABCの内心をIとし、3辺BC、CA、ABに関してIと対称な点をそれぞれP,Q,Rとする。Iは三角形PQRについてどのような点か？
164：三角形ABCの内心をI、角Aの内部の傍心をＩ₁とする時、次の問いに答えよ。
（１）角ＩＢＩ₁の大きさを求めよ。
（２）三角形ＡＢＣの外接円は線分ＩＩ₁を二等分することを証明せよ。
165：ＡＢ＝ＡＣである二等辺三角形ＡＢＣの頂点Ａから辺ＢＣに下ろした垂線をＡＤとする。
角Ｂの内部の傍接円ＩＢの半径はＡＤに等しいことを証明せよ。
【中学受験のドラえもんがていねいに解説】図形の性質 4STEP数A 159,160,161,162 図形の性質の基本①
単元：
#数A#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#数学(高校生)
教材：
#4STEP(4ステップ）数学#4STEP数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
159：外心と内心が一致する三角形は正三角形である。このことを証明せよ。
160：図の三角形ABCは角B＝90度の直角三角形であり、3点D、E、Fは三角形ABCの外心・内心・重心のいずれかであるとする。このとき、三角形ABCの外心・内心・重心は3点D、E、Fのいずれであるか？
161：三角形ABCにおいて、AB＝AC＝3、BC＝2である。三角形ABCの重心をG、内心をIとするとき、線分GIの長さを求めよ。
162：図において、点Hは三角形ABCの垂心である。角α、βを求めよ。
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159：外心と内心が一致する三角形は正三角形である。このことを証明せよ。
160：図の三角形ABCは角B＝90度の直角三角形であり、3点D、E、Fは三角形ABCの外心・内心・重心のいずれかであるとする。このとき、三角形ABCの外心・内心・重心は3点D、E、Fのいずれであるか？
161：三角形ABCにおいて、AB＝AC＝3、BC＝2である。三角形ABCの重心をG、内心をIとするとき、線分GIの長さを求めよ。
162：図において、点Hは三角形ABCの垂心である。角α、βを求めよ。