色々な関数の導関数 - 質問解決D.B.（データベース） https://kaiketsu-db.net 「質問解決D.B.」は、算数・数学・英語・理科等の「そこが知りたい」を問題別・単元別に検索でき、あなたの質問を解決する「学習動画」をピンポイントで探す「動画検索総合サイト」です。(小学生・中学生・高校生の単元学習／中学受験・高校受験・大学受験に対応) Thu, 08 Oct 2026 06:22:08 +0000 ja hourly 1 https://wordpress.org/?v=7.1.3 https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2022/05/cropped-kaiketsu-dblogo-32x32.jpg 色々な関数の導関数 - 質問解決D.B.（データベース） https://kaiketsu-db.net 32 32 次の関数の x = 0 における連続性と微分可能性を調べよ。x != 0 のとき f(x) = x / (1 + 2^(1/x)) , f(0) = 0【数Ⅲ｜微分法：導関数】 https://kaiketsu-db.net/all_unit_post/pefmfa1wm9e/?utm_source=rss&utm_medium=rss&utm_campaign=pefmfa1wm9e Thu, 08 Oct 2026 06:22:07 +0000 https://kaiketsu-db.net/?post_type=all_unit_post&p=94542 ■動画概要高校数学Ⅲ「微分法（導関数）」の超頻出・難関重要問題「指数関数 2^(1/x) を含む分数列関数の x ＝ 0 における連続性と微分可能性の判定方法」を分かりやすく解説！1/x ＝ t の置換による x → ＋ […]

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]]> ■動画概要
高校数学Ⅲ「微分法（導関数）」の超頻出・難関重要問題「指数関数 2^(1/x) を含む分数列関数の x ＝ 0 における連続性と微分可能性の判定方法」を分かりやすく解説！
1/x ＝ t の置換による x → ＋0（t → ＋∞）と x → －0（t → －∞）での挙動の違いに着目し、極限値の一致から「連続であること」を証明する手順が学べます。
さらに、微分係数の定義式を用いた極限計算において、右側微分係数（極限値 0）と左側微分係数（極限値 1）が不一致となることから「微分可能ではない（微分不能）」ことを導き出す記述・論述の解法プロセスが身につきます。
高校数学Ⅲの定期テスト対策、共通テストや大学入試の連続性・微分可能性問題の対策にぜひ役立ててください。

▼ 解説のポイント
①連続性の判定： 1/x ＝ t と置き、x → ＋0（2^t → ∞）と x → －0（2^t → 0）での分母の挙動を調べ、ともに lim[x→0] f(x) ＝ 0 ＝ f(0) となることから x ＝ 0 で連続であることを示す
②微分可能性の判定： 微分係数の定義式 lim[h→0] {f(0＋h) － f(0)} / h を立式し、約分して 1 / (1 ＋ 2^(1/h)) の形を作る
③右側極限（h → ＋0）の計算： 2^(1/h) → ∞ より極限値は 0 となる
④左側極限（h → －0）の計算： 2^(1/h) → 0 より極限値は 1 となる
⑤右側・左側の微分係数が一致しないため、x ＝ 0 における微分係数は存在せず「微分可能ではない」と結論づける
★定期テスト前の復習や数学Ⅲの解法チェックにぜひご活用ください！

#数学Ⅲ #微分法 #導関数 #連続性 #微分可能性 #指数関数 #左右の極限 #微分不能 #定期テスト対策 #高校数学 #理数個別チャンネル

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]]> 次の関数の x = 0 における連続性と微分可能性を調べよ。x ≠ 0 のとき f(x) = x^2 sin(1/x) , f(0) = 0【数Ⅲ｜微分法：導関数】 https://kaiketsu-db.net/all_unit_post/abdj9wq8q10/?utm_source=rss&utm_medium=rss&utm_campaign=abdj9wq8q10 Thu, 08 Oct 2026 06:20:19 +0000 https://kaiketsu-db.net/?post_type=all_unit_post&p=94543 ■動画概要高校数学Ⅲ「微分法（導関数）」の超頻出重要問題「振動する関数 f(x) ＝ x² sin(1/x) の x ＝ 0 における連続性と微分可能性の判定方法」を分かりやすく解説！| sin(1/x) | ≦ 1 の […]

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]]> ■動画概要
高校数学Ⅲ「微分法（導関数）」の超頻出重要問題「振動する関数 f(x) ＝ x² sin(1/x) の x ＝ 0 における連続性と微分可能性の判定方法」を分かりやすく解説！
| sin(1/x) | ≦ 1 の性質を利用した「はさみうちの原理」により lim[x→0] f(x) ＝ 0 ＝ f(0) を示して連続性を証明する手順が学べます。
さらに、微分係数の定義式 lim[h→0] {f(0＋h) － f(0)} / h に代入して得られる h sin(1/h) についても、同様に「はさみうちの原理」を用いて極限値 0（f'(0) ＝ 0）を導出し、x ＝ 0 で微分可能であることを示す記述・論述のポイントが身につきます。
高校数学Ⅲの定期テスト対策、共通テストや大学入試の連続性・微分可能性問題の対策にぜひ役立ててください。

▼ 解説のポイント
①連続性の判定： |sin(1/x)| ≦ 1 から 0 ≦ |x² sin(1/x)| ≦ x² の不成立を示し、はさみうちの原理から lim[x→0] f(x) ＝ 0 ＝ f(0) を導いて x ＝ 0 で連続であることを示す
②微分可能性の判定： 微分係数の定義式 lim[h→0] {f(0＋h) － f(0)} / h を立式し、約分して lim[h→0] h sin(1/h) の形を作る
③はさみうちの原理の再適用： |sin(1/h)| ≦ 1 から 0 ≦ |h sin(1/h)| ≦ |h| と挟み込み、極限値 0（＝ f'(0)）を導出する
④微分係数が定義できることから、x ＝ 0 で微分可能（かつ f'(0) ＝ 0）であることを結論づける
★定期テスト前の復習や数学Ⅲの解法チェックにぜひご活用ください！

#数学Ⅲ #微分法 #導関数 #連続性 #微分可能性 #はさみうちの原理 #極限 #三角関数 #定期テスト対策 #高校数学 #理数個別チャンネル

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]]> 次の等式を、数学的帰納法によって証明せよ。(d^n / dx^n) log x = (-1)^(n-1) * (n - 1)! / x^n【数Ⅲ｜微分法：導関数】 https://kaiketsu-db.net/all_unit_post/bwjrvddaavu/?utm_source=rss&utm_medium=rss&utm_campaign=bwjrvddaavu Thu, 08 Oct 2026 06:18:23 +0000 https://kaiketsu-db.net/?post_type=all_unit_post&p=94544 ■動画概要高校数学Ⅲ「微分法（いろいろな関数の導関数）」の標準・発展問題「log x の第 n 次導関数に関する等式を数学的帰納法を用いて証明する方法」をわかりやすく解説！【n ＝ 1 のとき】の検証（0! ＝ 1 や […]

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]]> ■動画概要
高校数学Ⅲ「微分法（いろいろな関数の導関数）」の標準・発展問題「log x の第 n 次導関数に関する等式を数学的帰納法を用いて証明する方法」をわかりやすく解説！
【n ＝ 1 のとき】の検証（0! ＝ 1 や (-1)⁰ ＝ 1 の定義の確認）から、【n ＝ k での仮定】を用いて dᵏ⁺¹/dxᵏ⁺¹ log x を (d/dx)(dᵏ/dxᵏ log x) と分解し、仮定を代入して x に着目した微分（x⁻ᵏ の微分）を行う一連の証明手順が身につきます。
微分によって生じる「-1」と「k」を指数や階乗（(-1)ᵏ および k!）にまとめ上げ、n ＝ k ＋ 1 のときの形へと鮮やかに変形するテクニックがよく分かります。
高校数学Ⅲの定期テスト対策、共通テストや大学入試の記述・論述問題対策にぜひ役立ててください。

▼ 解説のポイント
①【n ＝ 1 のとき】左辺 (d/dx log x ＝ 1/x) と右辺 ((-1)⁰・0! / x¹ ＝ 1/x) が一致することを確認する（0! ＝ 1, (-1)⁰ ＝ 1 に注意）
②【n ＝ k のとき】等式が成り立つと仮定し、n ＝ k ＋ 1 の場合の左辺 dᵏ⁺¹/dxᵏ⁺¹ log x を 1階微分 と k階微分 に分解する
③k階微分の部分に帰納法の仮定 (-1)ᵏ⁻¹(k-1)! / xᵏ を代入し、定数項を括り出して 1/xᵏ （x⁻ᵏ）の部分を微分する
④微分により出てきた -1 と k を整理して (-1)ᵏ と k! にまとめ、n ＝ k ＋ 1 のときも成り立つことを証明する
★定期テスト前の復習や数学Ⅲの解法チェックにぜひご活用ください！

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]]> 次の等式を、数学的帰納法によって証明せよ。dⁿ/dxⁿ cos x＝cos(x＋nπ/2)【数Ⅲ｜微分法｜いろいろな関数の導関数】 https://kaiketsu-db.net/all_unit_post/v8y998f2ioe/?utm_source=rss&utm_medium=rss&utm_campaign=v8y998f2ioe Tue, 06 Oct 2026 07:09:10 +0000 https://kaiketsu-db.net/?post_type=all_unit_post&p=94478 ■動画概要 高校数学Ⅲ「微分法（いろいろな関数の導関数）」の標準・発展問題「cos x の第 n 次導関数に関する等式を数学的帰納法を用いて証明する方法」をわかりやすく解説！ 【n ＝ 1 のとき】の確認から、【n ＝ […]

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]]> ■動画概要 高校数学Ⅲ「微分法（いろいろな関数の導関数）」の標準・発展問題「cos x の第 n 次導関数に関する等式を数学的帰納法を用いて証明する方法」をわかりやすく解説！ 【n ＝ 1 のとき】の確認から、【n ＝ k での仮定】を用いて dᵏ⁺¹/dxᵏ⁺¹ cos x を (d/dx)(dᵏ/dxᵏ cos x) と分解し、仮定を代入して1回微分（-sinへの変換）および三角関数の公式（-sin θ ＝ cos(θ ＋ π/2)）で変形する一連の証明手順が身につきます。 高校数学Ⅲの定期テスト対策、共通テストや大学入試の記述・論述問題対策にぜひ役立ててください。 ▼ 解説のポイント 【n ＝ 1 のとき】左辺 (d/dx cos x ＝ -sin x) と右辺 (cos(x ＋ π/2) ＝ -sin x) が一致することを確認する 【n ＝ k のとき】等式が成り立つと仮定し、n ＝ k ＋ 1 の場合の左辺 dᵏ⁺¹/dxᵏ⁺¹ cos x を 1階微分 と k階微分 に分解する k階微分の部分に帰納法の仮定 cos(x ＋ kπ/2) を代入して微分し、-sin(x ＋ kπ/2) に変形する 三角関数の公式 -sin θ ＝ cos(θ ＋ π/2) を用いて cos(x ＋ (k＋1)π/2) を導き出し、n ＝ k ＋ 1 のときも成り立つことを証明する 定期テスト前の復習や数学Ⅲの解法チェックにぜひご活用ください！

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]]> f(x)は0でないxの多項式で、次の等式を満たしているものとする。xf''(x)＋(1－x)f'(x)＋3f(x)＝0，f(0)＝1・f(x)の次数を求めよ。・f(x)を求めよ。【数Ⅲ｜微分法｜いろいろな関数の導関数】 https://kaiketsu-db.net/all_unit_post/xaj61yxza2i/?utm_source=rss&utm_medium=rss&utm_campaign=xaj61yxza2i Tue, 06 Oct 2026 07:01:43 +0000 https://kaiketsu-db.net/?post_type=all_unit_post&p=94476 ■動画概要 高校数学Ⅲ「微分法」の決定問題「微分方程式（恒等式）を満たす未知の多項式関数 f(x) を決定する方法」をわかりやすく解説！ 「最高次の項 axⁿ（a ≠ 0）とおいて両辺の最高次の係数を比較し、次数 n ＝ […]

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]]> ■動画概要 高校数学Ⅲ「微分法」の決定問題「微分方程式（恒等式）を満たす未知の多項式関数 f(x) を決定する方法」をわかりやすく解説！ 「最高次の項 axⁿ（a ≠ 0）とおいて両辺の最高次の係数を比較し、次数 n ＝ 3 を特定する」手順と、次数決定後に f(x) ＝ ax³ ＋ bx² ＋ cx ＋ 1 と置いて微分し、係数比較で未知数を決定する一連の流れが身につきます。 高校数学Ⅲの定期テスト対策、共通テストや大学入試の微分法の標準・応用問題対策にぜひ役立ててください。 ▼ 解説のポイント f(x) が定数関数でないことを f(0) ＝ 1 および与えられた等式から吟味する f(x) の最高次の項を axⁿ（a ≠ 0, n ≧ 1）とおき、等式中の xⁿ の係数（-an ＋ 3a）が 0 になることから次数 n ＝ 3 を決定する f(x) ＝ ax³ ＋ bx² ＋ cx ＋ 1（定数項は f(0) ＝ 1 より決定）とおき、1階微分・2階微分を求めて等式に代入する 式を整理して各次の係数＝0 の連立方程式を作り、係数 a, b, c を決定して関数 f(x) を求める 定期テスト前の復習や数学Ⅲの解法チェックにぜひご活用ください！

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]]> 曲線y=eˣ+2e⁻ˣにおいて，傾きが1である接線の方程式を求めよ。【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】 https://kaiketsu-db.net/all_unit_post/cbvsdf_4gfc/?utm_source=rss&utm_medium=rss&utm_campaign=cbvsdf_4gfc Sat, 15 Aug 2026 08:22:12 +0000 https://kaiketsu-db.net/?post_type=all_unit_post&p=93252 本家の理数個別チャンネルはこちら https://www.youtube.com/@risukobetsu 理数個別チャンネルは、理数個別指導学院が運営する、小学生・中学生・高校生向けの学習動画チャンネルです。中学受験算 […]

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]]> 次の曲線について，与えられた点を通る接線の方程式を求めよ。（1）y=√x（−2，0）（2）y=2x/（x+1）（1，2）（3）y=e²ˣ⁺¹（0，0）【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】 https://kaiketsu-db.net/all_unit_post/snrwkcuwqns/?utm_source=rss&utm_medium=rss&utm_campaign=snrwkcuwqns Sat, 15 Aug 2026 08:20:55 +0000 https://kaiketsu-db.net/?post_type=all_unit_post&p=93250 本家の理数個別チャンネルはこちら https://www.youtube.com/@risukobetsu 理数個別チャンネルは、理数個別指導学院が運営する、小学生・中学生・高校生向けの学習動画チャンネルです。中学受験算 […]

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]]> 次の曲線について（　）内のtの値に対応する接線の方程式を求めよ（1）x=√3cost，y=sint（t=π/6）（2）x=cos2t，y=sint+1（t=−π/6）【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】 https://kaiketsu-db.net/all_unit_post/0eyi0cj_cly/?utm_source=rss&utm_medium=rss&utm_campaign=0eyi0cj_cly Sat, 15 Aug 2026 08:11:33 +0000 https://kaiketsu-db.net/?post_type=all_unit_post&p=93245 本家の理数個別チャンネルはこちら https://www.youtube.com/@risukobetsu 理数個別チャンネルは、理数個別指導学院が運営する、小学生・中学生・高校生向けの学習動画チャンネルです。中学受験算 […]

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]]> xの関数yが，tを媒介変数として，x=cost+tsint，y=sint−tcostと表されるとき，d²y/dx²をtの関数として表せ。【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】 https://kaiketsu-db.net/all_unit_post/iwd7e5fvmsu/?utm_source=rss&utm_medium=rss&utm_campaign=iwd7e5fvmsu Sat, 15 Aug 2026 05:25:40 +0000 https://kaiketsu-db.net/?post_type=all_unit_post&p=93243 本家の理数個別チャンネルはこちら https://www.youtube.com/@risukobetsu 理数個別チャンネルは、理数個別指導学院が運営する、小学生・中学生・高校生向けの学習動画チャンネルです。中学受験算 […]

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]]> 次の関数について，dy/dxを求めよ。（1）x²+3xy−y²=1（2）x=cosy（3）x=（1+t²）/（1−t²），y=2t/（1−t²）他【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】 https://kaiketsu-db.net/all_unit_post/kxs1ldux_b0/?utm_source=rss&utm_medium=rss&utm_campaign=kxs1ldux_b0 Sat, 15 Aug 2026 05:23:37 +0000 https://kaiketsu-db.net/?post_type=all_unit_post&p=93240 本家の理数個別チャンネルはこちら https://www.youtube.com/@risukobetsu 理数個別チャンネルは、理数個別指導学院が運営する、小学生・中学生・高校生向けの学習動画チャンネルです。中学受験算 […]

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]]> 成り立つことを証明せよ（1）y=x√（1+x²）のとき（1+x²）y″+xy′=4y（2）y=e⁻²ˣ（acos2x+bsin2x）のときy″+4y′+8y=0【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】 https://kaiketsu-db.net/all_unit_post/gvsy6l7wrw4/?utm_source=rss&utm_medium=rss&utm_campaign=gvsy6l7wrw4 Sat, 15 Aug 2026 03:59:32 +0000 https://kaiketsu-db.net/?post_type=all_unit_post&p=93237 本家の理数個別チャンネルはこちら https://www.youtube.com/@risukobetsu 理数個別チャンネルは、理数個別指導学院が運営する、小学生・中学生・高校生向けの学習動画チャンネルです。中学受験算 […]

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]]> 次の関数の第3次導関数を求めよ。（1）y=1/（x²−x）（2）y=√（2x+1）（3）y=cos³x【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】 https://kaiketsu-db.net/all_unit_post/npjou-whv0u/?utm_source=rss&utm_medium=rss&utm_campaign=npjou-whv0u Sat, 15 Aug 2026 03:58:06 +0000 https://kaiketsu-db.net/?post_type=all_unit_post&p=93236 本家の理数個別チャンネルはこちら https://www.youtube.com/@risukobetsu 理数個別チャンネルは、理数個別指導学院が運営する、小学生・中学生・高校生向けの学習動画チャンネルです。中学受験算 […]

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