数学(高校生)
数学(高校生)
ざ・見掛け倒し
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$ \displaystyle \sum_{n=1}^{2022} n^{2022}$
$ =1^{2022}+2^{2022}+3^{2022}+･･････+2021^{2022}+2022^{2022}$
を13で割った余りを求めよ.
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$ \displaystyle \sum_{n=1}^{2022} n^{2022}$
$ =1^{2022}+2^{2022}+3^{2022}+･･････+2021^{2022}+2022^{2022}$
を13で割った余りを求めよ.
ざ・見掛け倒し
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \sum_{n=1}^{2022}n^{2022}=1^{2022}+2^{2022}+3^{2022}+
･･････+2021^{2022}+2022^{2022}$を13で割った余りを求めよ.
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$\displaystyle \sum_{n=1}^{2022}n^{2022}=1^{2022}+2^{2022}+3^{2022}+
･･････+2021^{2022}+2022^{2022}$を13で割った余りを求めよ.
気づけば！知っていれば一瞬！！
【数学Ⅰ/高1の予習】展開公式
【数Ⅲ】極方程式をゼロからはじめましょう
【数Ⅲ】2次曲線：極方程式をゼロからはじめましょう
Q：鳩の巣原理の解説して下さい
福田の数学・入試問題解説〜東北大学2022年理系第６問〜円柱と球の共通部分の体積
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{6}}\ 半径1の円を底面とする高さが\sqrt3の直円柱と、半径がrの球を考える。\\
直円柱の底面の中心と球の中心が一致するとき、直円柱の内部と球の内部の\\
共通部分の体積V(r)を求めよ。
\end{eqnarray}
2022東北大学理系過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{6}}\ 半径1の円を底面とする高さが\sqrt3の直円柱と、半径がrの球を考える。\\
直円柱の底面の中心と球の中心が一致するとき、直円柱の内部と球の内部の\\
共通部分の体積V(r)を求めよ。
\end{eqnarray}
2022東北大学理系過去問
【わかりやすく】たすきがけを使う因数分解を解説！（高校数学Ⅰ）
単元：
#数Ⅰ#数と式#式の計算（整式・展開・因数分解）#数学(高校生)
指導講師：
【ゼロから理解できる】高校数学・物理
問題文全文(内容文)：
次の式を因数分解せよ。
（1）$6x^2+7x+2$
（2）$2x^2+x-6$
（3）$3x^2-10xy+8y^2$
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次の式を因数分解せよ。
（1）$6x^2+7x+2$
（2）$2x^2+x-6$
（3）$3x^2-10xy+8y^2$
2022九州大
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#複素数#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
kは実数であり,整式f(x)を$ f(x)=x^4+6x^3-kx^2+2kx-64 $で定める.
f(x)=0が虚数解をもつとき,
(1)f(x)はx-2で割り切れることを示せ.
(2)f(x)=0は負の実数解をもつことを示せ.
(3)f(x)=0のすべての実数解が整数で,すべての虚数解の実部と虚部が
ともに整数である.kの値を求めよ.
2022九州大過去問
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kは実数であり,整式f(x)を$ f(x)=x^4+6x^3-kx^2+2kx-64 $で定める.
f(x)=0が虚数解をもつとき,
(1)f(x)はx-2で割り切れることを示せ.
(2)f(x)=0は負の実数解をもつことを示せ.
(3)f(x)=0のすべての実数解が整数で,すべての虚数解の実部と虚部が
ともに整数である.kの値を求めよ.
2022九州大過去問
【数Ⅲ】2次曲線：極座標をゼロから始めましょう
【数Ⅲ】極座標をゼロから始めましょう
福田の数学〜京都大学2022年文系第３問〜放物線と直交する2接線で囲まれる面積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#面積、体積#京都大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}}\ xy平面上の2直線L_1,L_2は直交し、交点のx座標は\frac{3}{2}である。\\
また、L_1,L_2は共に曲線C:y=\frac{x^2}{4}に接している。このとき、L_1,L_2およびCで\\
囲まれる図形の面積を求めよ。
\end{eqnarray}
2022京都大学文系過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}}\ xy平面上の2直線L_1,L_2は直交し、交点のx座標は\frac{3}{2}である。\\
また、L_1,L_2は共に曲線C:y=\frac{x^2}{4}に接している。このとき、L_1,L_2およびCで\\
囲まれる図形の面積を求めよ。
\end{eqnarray}
2022京都大学文系過去問
2022九州大 整数問題
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
自然数m,nは$ n^4=1+210m^2 $を満たす.
(1)$\dfrac{n^2+1}{2},\dfrac{n^2-1}{2}$は互いに素な整数であることを示せ.
(2)$ n^2-1 $は168の倍数であることを示せ.
(3)(m,n)を1組求めよ.
2022九州大過去問
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自然数m,nは$ n^4=1+210m^2 $を満たす.
(1)$\dfrac{n^2+1}{2},\dfrac{n^2-1}{2}$は互いに素な整数であることを示せ.
(2)$ n^2-1 $は168の倍数であることを示せ.
(3)(m,n)を1組求めよ.
2022九州大過去問
気づけば一瞬！！コラボ ベリースライム
福田の数学・入試問題解説〜東北大学2022年理系第５問〜空間内の直線上の点列の極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{5}}\ 座標空間内において、ベクトル\\
\overrightarrow{ a }=(1,2,1), \overrightarrow{ b }=(1,1,-1), \overrightarrow{ c }=(0,0,1)\\
が定める直線\\
l:s\overrightarrow{ a }, l':t\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c }\\
を考える。点A_1を原点(0,0,0)とし、点A_1から直線l'に下ろした垂線A_1B_1と\\
おく。次に、点B_1(t_1\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c })から直線lに下ろした垂線をB_1A_2とおく。\\
同様に、点A_k(s_k\overrightarrow{ a })から直線l'に下ろした垂線をA_kB_k、点B_k(t_k\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c })から直線l\\
に下ろした垂線をB_kA_{k+1}とする手順を繰り返して、点A_n(s_n\overrightarrow{ a }),B_n(t_n\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c })\\
(nは正の整数)を定める。\\
(1)s_nを用いてs_{n+1}を表せ。\\
(2)極限値S=\lim_{n \to \infty}s_n, T=\lim_{n \to \infty}t_nを求めよ。\\
(3)(2)で求めたS,Tに対して、点A,BをそれぞれA(S\overrightarrow{ a }),B(T\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c })とおくと、\\
直線ABは2直線l,l'の両方と直交することを示せ。
\end{eqnarray}
2022東北大学理系過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{5}}\ 座標空間内において、ベクトル\\
\overrightarrow{ a }=(1,2,1), \overrightarrow{ b }=(1,1,-1), \overrightarrow{ c }=(0,0,1)\\
が定める直線\\
l:s\overrightarrow{ a }, l':t\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c }\\
を考える。点A_1を原点(0,0,0)とし、点A_1から直線l'に下ろした垂線A_1B_1と\\
おく。次に、点B_1(t_1\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c })から直線lに下ろした垂線をB_1A_2とおく。\\
同様に、点A_k(s_k\overrightarrow{ a })から直線l'に下ろした垂線をA_kB_k、点B_k(t_k\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c })から直線l\\
に下ろした垂線をB_kA_{k+1}とする手順を繰り返して、点A_n(s_n\overrightarrow{ a }),B_n(t_n\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c })\\
(nは正の整数)を定める。\\
(1)s_nを用いてs_{n+1}を表せ。\\
(2)極限値S=\lim_{n \to \infty}s_n, T=\lim_{n \to \infty}t_nを求めよ。\\
(3)(2)で求めたS,Tに対して、点A,BをそれぞれA(S\overrightarrow{ a }),B(T\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c })とおくと、\\
直線ABは2直線l,l'の両方と直交することを示せ。
\end{eqnarray}
2022東北大学理系過去問
整式の剰余
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$x^{2022}$を$(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)$で割った余りを求めよ.
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$x^{2022}$を$(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)$で割った余りを求めよ.
中学生もわかる！と思う！指数の方程式
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$2^{x+1}+2^{x-1} = 1280$
x=?
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$2^{x+1}+2^{x-1} = 1280$
x=?
シンガポール数学オリンピックの問題
単元：
#数A#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#数学オリンピック#数学(高校生)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
BD:DC=1:2
$\angle C=?$
＊図は動画内参照
2013数学オリンピック
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BD:DC=1:2
$\angle C=?$
＊図は動画内参照
2013数学オリンピック
福田の数学〜京都大学2022年文系第２問〜条件を満たす経路の総数と漸化式
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}\ 下図(※動画参照)の三角柱ABC-DEFにおいて、Aを始点として、辺に沿って\\
頂点をn回移動する。すなわち、この移動経路\\
P_0 \to P_1 \to P_2 \to \ldots \to P_{n-1} \to P_n (ただしP_0=A)\\
において、P_0P_1,P_1P_2,\ldots,P_{n-1}P_nは全て辺であるとする。\\
また、同じ頂点を何度通ってよいものとする。このような移動経路で、終点P_nがA,B,Cの\\
いずれかとなるものの総数a_nを求めよ。
\end{eqnarray}
2022京都大学文系過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}\ 下図(※動画参照)の三角柱ABC-DEFにおいて、Aを始点として、辺に沿って\\
頂点をn回移動する。すなわち、この移動経路\\
P_0 \to P_1 \to P_2 \to \ldots \to P_{n-1} \to P_n (ただしP_0=A)\\
において、P_0P_1,P_1P_2,\ldots,P_{n-1}P_nは全て辺であるとする。\\
また、同じ頂点を何度通ってよいものとする。このような移動経路で、終点P_nがA,B,Cの\\
いずれかとなるものの総数a_nを求めよ。
\end{eqnarray}
2022京都大学文系過去問
2022早稲田大（社）整式の剰余
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
整式P(x)をx-1で割ると1あまり,$ (x+1)^2 $で割ると3x+2あまる.
P(x)を次の式で割ったあまりは?
(1)$ x+1$ (2)$(x+1)(x-1)$ (3)$(x-1)(x+1)^2$
2022早稲田大過去問
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整式P(x)をx-1で割ると1あまり,$ (x+1)^2 $で割ると3x+2あまる.
P(x)を次の式で割ったあまりは?
(1)$ x+1$ (2)$(x+1)(x-1)$ (3)$(x-1)(x+1)^2$
2022早稲田大過去問
【数Ⅱ】2つの円の位置関係・交点を通る直線または円の方程式【知らないと解けない知識問題】
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
めいちゃんねる
問題文全文(内容文)：
$ 2円x^2+y^2-10=0,x^2+y^2+2x-2y-6=0が2点で交わることを示せ.$
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$ 2円x^2+y^2-10=0,x^2+y^2+2x-2y-6=0が2点で交わることを示せ.$
【高校数学】シグマの例題演習～文字の扱いが難しい～ 3-8.5【数学Ｂ】
福田の数学・入試問題解説〜東北大学2022年理系第４問〜2つの直線に接し互いに外接する２つの円の性質
単元：
#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#三角関数#三角関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large{\boxed{4}}}\ xy平面の第1象限内において、直線l:y=mx (m \gt 0)とx軸の両方に\\
接している半径aの円をCとし、円Cの中心を通る直線y=tx (t \gt 0)を考える。\\
また、直線lとx軸、および、円Cの全てにそれぞれ1点で接する円の半径をbとする。\\
ただし、b \gt aとする。\\
(1)mを用いてtを表せ。\\
(2)tを用いて\frac{b}{a}を表せ。\\
(3)極限値\lim_{m \to +0}\frac{1}{m}(\frac{b}{a}-1)を求めよ。
\end{eqnarray}
2022東北大学理系過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large{\boxed{4}}}\ xy平面の第1象限内において、直線l:y=mx (m \gt 0)とx軸の両方に\\
接している半径aの円をCとし、円Cの中心を通る直線y=tx (t \gt 0)を考える。\\
また、直線lとx軸、および、円Cの全てにそれぞれ1点で接する円の半径をbとする。\\
ただし、b \gt aとする。\\
(1)mを用いてtを表せ。\\
(2)tを用いて\frac{b}{a}を表せ。\\
(3)極限値\lim_{m \to +0}\frac{1}{m}(\frac{b}{a}-1)を求めよ。
\end{eqnarray}
2022東北大学理系過去問
tan
東京大2022理系
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
数列｛$a_n$｝を次のように定める。
$a_1=1$ , $a_{n+1}={a_n}^2+1(n=1,2,3\cdots)$
(1)正の整数nが3の倍数のとき$a_n$は5の倍数となることを示せ。
(2)$a_n$が$a_k$の倍数となる必要十分条件をk,nを用いて示せ。(k,n:正の整数)
(3)$a_{2022}$と$(a_{8091})^2$の最大公約数を求めよ。
2022東京大学理系
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数列｛$a_n$｝を次のように定める。
$a_1=1$ , $a_{n+1}={a_n}^2+1(n=1,2,3\cdots)$
(1)正の整数nが3の倍数のとき$a_n$は5の倍数となることを示せ。
(2)$a_n$が$a_k$の倍数となる必要十分条件をk,nを用いて示せ。(k,n:正の整数)
(3)$a_{2022}$と$(a_{8091})^2$の最大公約数を求めよ。
2022東京大学理系
解けるように作られた問題
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#微分法と積分法#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$ x^3-x-1=0 $の実数解を$ \alpha $とするとき,
$ \sqrt[3]{3\alpha^2-4\alpha}+\sqrt[3]{3\alpha^2+4\alpha+2}$の値を求めよ.
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$ x^3-x-1=0 $の実数解を$ \alpha $とするとき,
$ \sqrt[3]{3\alpha^2-4\alpha}+\sqrt[3]{3\alpha^2+4\alpha+2}$の値を求めよ.
内閣の二等分線 西京高校 2022 入試から観る数学の世界
単元：
#数学(中学生)#数A#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#高校入試過去問(数学)#数学(高校生)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
BP:PD=?
＊図は動画内参照
2022西京高等学校
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BP:PD=?
＊図は動画内参照
2022西京高等学校
福田の入試問題解説〜東京大学2022年文系第４問〜複雑な反復試行の確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large{\boxed{4}}}\ Oを原点とする座標平面上で考える。0以上の整数kに対して、ベクトル\overrightarrow{ v_k }を\\
\overrightarrow{ v_k }=(\cos\frac{2k\pi}{3}, \sin\frac{2k\pi}{3})\\
と定める。投げたとき表と裏がどちらも\frac{1}{2}の確率で出るコインをN回投げて、\\
座標平面上に点X_0,X_1,X_2,\ldots,X_Nを以下の規則(\textrm{i}),(\textrm{ii})に従って定める。\\
(\textrm{i})X_0はOにある。\\
(\textrm{ii})nを1以上N以下の整数とする。X_{n-1}が定まったとし、\\
X_nを次のように定める。\\
・n回目のコイン投げで表が出た場合、\overrightarrow{ OX_n }=\overrightarrow{ OX_{n-1} }+\overrightarrow{ v_k }によりX_nを定める。\\
ただし、kは1回目からn回目までのコイン投げで裏が出た回数とする。\\
・n回目のコイン投げで裏が出た場合、X_nをX_{n-1}と定める。\\
(1)N=5とする。X_5がOにある確率を求めよ。\\
(2)N=98とする。X_{98}がOにあり、かつ、表が90回、裏が8回出る確率を求めよ。
\end{eqnarray}
2022東京大学文系過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large{\boxed{4}}}\ Oを原点とする座標平面上で考える。0以上の整数kに対して、ベクトル\overrightarrow{ v_k }を\\
\overrightarrow{ v_k }=(\cos\frac{2k\pi}{3}, \sin\frac{2k\pi}{3})\\
と定める。投げたとき表と裏がどちらも\frac{1}{2}の確率で出るコインをN回投げて、\\
座標平面上に点X_0,X_1,X_2,\ldots,X_Nを以下の規則(\textrm{i}),(\textrm{ii})に従って定める。\\
(\textrm{i})X_0はOにある。\\
(\textrm{ii})nを1以上N以下の整数とする。X_{n-1}が定まったとし、\\
X_nを次のように定める。\\
・n回目のコイン投げで表が出た場合、\overrightarrow{ OX_n }=\overrightarrow{ OX_{n-1} }+\overrightarrow{ v_k }によりX_nを定める。\\
ただし、kは1回目からn回目までのコイン投げで裏が出た回数とする。\\
・n回目のコイン投げで裏が出た場合、X_nをX_{n-1}と定める。\\
(1)N=5とする。X_5がOにある確率を求めよ。\\
(2)N=98とする。X_{98}がOにあり、かつ、表が90回、裏が8回出る確率を求めよ。
\end{eqnarray}
2022東京大学文系過去問
素数
単元：
#数Ⅰ#数A#数と式#式の計算（整式・展開・因数分解）#整数の性質#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$ n^4-11n^2+49 $が素数となる整数 $ n$を求めよ.
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$ n^4-11n^2+49 $が素数となる整数 $ n$を求めよ.