問題文全文(内容文)：
$a_1$=$\displaystyle\frac{1}{2}$, $a_{n+1}$=$\sqrt{\displaystyle\frac{a_n+1}{2}}$ を満たす数列$\left\{a_n\right\}$の一般項$a_n$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
(1)正三角形ABCの頂点を1秒ごとに無作為に必ず隣の頂点に移動する虫がいる。虫がはじめ頂点Aにいる時、n秒後に頂点Aにいる確率を求めよ。
(2)2,3,5,7,9の数字が書かれたカードが各1枚入った箱がある。箱から無作為に1枚取り出し数字をメモしてカードは箱に戻す。これをn回繰り返したときにメモされた数字の合計が奇数である確率を求めよ。

問題文全文(内容文)：
漸化式の基本を解説シリーズその2　等比型を解説していきます.

問題文全文(内容文)：

数列$\{a_k\},\{b_k\}$が$a_0=b_0=0$,

$a_{k+1}=b_k,b_{k+1}=\dfrac{a_k b_k+a_k+1}{b_k+1}$

で定義されている。

$a_{2024}+b_{2024}\geqq 88$

であることを証明して下さい。
　　　　

問題文全文(内容文)：
正四面体 $ABCD$ の頂点上に 2 つの動点 $M, N$ がある。
時刻 $t = 0$ において、$M, N$ はともに頂点 $A$ に位置している。
$M, N$ はそれぞれ 1 秒ごとに、等確率で隣り合う他の 3 頂点のいずれかへ独立に移動する。
$n$ 秒後に 2 つの動点 $M, N$ が同じ頂点に位置する確率を $P_n$ とするとき、以下に答えよ。
(1) $P_1$ および $P_2$ を求めよ。
(2) $P_{n+1}$ を $P_n$ を用いて表せ。
(3) $P_n$ を $n$ の式で表せ。