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$0 \lt a$：実数
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }(1+a^n)^{\frac{1}{n}}$の極限を求めよ。

出典：2012年京都大学　入試問題

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$\boxed{4}$

$n$を正の整数、$a$を正の実数とし、

関数$f(x)$と$g(x)$を次のように定める。

$f(x)=n\log x,\quad g(x)=ax^n$

また、曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$が共有点をもち、

その共有点における

$2$つの曲線の接線が一致しているとする。

このとき、以下の問いに答えよ。

(1)$a$の値を求めよ。

(2)この$2$つの曲線と$x$軸で囲まれた部分の面積

$S_n$を求めよ。

(3)$\quad $(2)で求めた$S_n$に対し、極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$を求めよ。

$2025$年東北大学理系過去問題

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三角関数の微分の導出について解説します。

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$\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\cdots=\dfrac{\pi}{4}$