問題文全文(内容文)：
原点Oと3点A(2,2,4) B(-1,1,2) C(4,1,1)から等距離にある点Mの座標を求めよ。

問題文全文(内容文)：
4点A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,2)、D(1,2,3)がある。△ABCの面積Sと、四面体ABCDの体積Vを求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{5}$ 四面体OABCにおいて、$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{OC}$とおき、次が成り立つとする。
$\angle$AOB=60°, |$\overrightarrow{a}$|=2, |$\overrightarrow{b}$|=3, |$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt 6$, $\overrightarrow{b}$・$\overrightarrow{c}$=3
ただし、$\overrightarrow{b}$・$\overrightarrow{c}$は、2つのベクトル$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$の内積を表す。さらに、線分OCと線分ABは垂直であるとする。点Cから3点O, A, Bを含む平面に下ろした垂線をCHとし、点Oから3点A, B, Cを含む平面に下ろした垂線をOKとする。
(1)$\overrightarrow{a}$・$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$・$\overrightarrow{a}$を求めよ。
(2)ベクトル$\overrightarrow{OH}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ。
(3)ベクトル$\overrightarrow{c}$とベクトル$\overrightarrow{HK}$は平行であることを示せ。

2023東北大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
四面体OABCの辺OA,OB,OCをそれぞれ1:1,2:1,3:1に内分する点を、順にP,Q,Rとする。点Cと△PQRの重心Gを通る直線が平面OABと交わる点をHとする。OA=a、OB=bとするとき、OHをa、bを用いて表せ。

問題文全文(内容文)：

$\boxed{2}$

空間の点$(0,0,1)$を通り

$(1,-1,0)$を方向ベクトルとする

直線を$\ell$とし、点$(1,0,3)$を通り$(0,1,-2)$を

方向ベクトルとする直線を$m$とする。

(1)$P$を$\ell$上の点とし、$Q$を$m$上の点とする。

また直線$PQ$は直線$\ell$と直線$m$に垂線であるとする。

このとき$P$と$Q$の座標、

および線分$PQ$の長さを求めよ。

(2)$\ell$上に$2$点

$A=(t,-t,1),$

$B(2+t+\sin t,-2-t-\sin t,1)$

があり、$m$上に$2$点

$C=(1,t,3,-2t),$

$D=(1,2+t<\cos t,-1-2t-2\cos t)$

があるとする。ただし、$y$は実数とする。

四面体$ABCD$の体積を$V(t)$とする。

$V(0)$を求めよ。

(3)$t$が$t\geqq 0$を動くとき、

$V(t)$の最大値と最小値を求めよ。

$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題