【エイトじゃなくて…】x → ∞ の場合:中学からの極限~全国入試問題解法 - 質問解決D.B.(データベース)

【エイトじゃなくて…】x → ∞ の場合:中学からの極限~全国入試問題解法

問題文全文(内容文):
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{5x^2+x+4}{x^2+2x+3}$を求めよ.
単元: #数学(中学生)#関数と極限#関数の極限#数Ⅲ
指導講師: 高校入試から見た数学の世界「全部入試問題」by しろたん
問題文全文(内容文):
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{5x^2+x+4}{x^2+2x+3}$を求めよ.
投稿日:2023.06.22

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$ \displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{ax-1}{x-a}$を求めよ.
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指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
複数の玉が人った袋から玉を 1 個取り出して袋に戻す事象を考える。どの玉も同じ確率で取り出されるものとし、nを自然数として、以下の間いに答えよ。
(1) 袋の中に赤玉 1 個と黒玉 2 個が入っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉をひとつ加え、合計 2 個の玉を袋に戻すという試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_{ n }$とすると、$p_{ 2 }=\dfrac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}, p_{ 3 }=\dfrac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$
( 2 )袋の中に赤玉 3 個と黒玉 2 個が人っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、赤玉と黒玉を 1 個ずつ、合計 2 個の球を袋に戻す試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_{ n }$とすると、次式が成り立つ。
$p_{ 2 }=\dfrac{\fbox{オカ}}{\fbox{キク}}, p_{ 3 }=\dfrac{\fbox{ケコ}}{\fbox{サシ}}$
n回目の試行開始時点で袋に人っている玉の個数$M_{ n } はM_{ n }=n+\fbox{ス}$であり、この時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数$R_{ n }はR_{ n }=M_{ n }×P_{ n }$と表される。n回目の試行において、黒玉が取り出された場合にのみ、試行後の赤玉の個数が施行前と比べて$\fbox{セ}$個増えるため、n+ 1 回目の試行開始時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数は$R_{ n+1 }=R_{ n }+(1-P_{ n })×\fbox{セ}$となる。したがって、
$P_{ n+1 }=\dfrac{n+\fbox{ソ}}{n+\fbox{タ}}×P_{ n }+\dfrac{1}{n+\fbox{チ}}$
が成り立つ。このことから、$(n+3)×(n+\fbox{ツ})×(P_{n}-\dfrac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}})$がnに依らず一定となる事が分かり、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } P_n =\dfrac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}}$と求められる。

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$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{\sin x}{x^0}$
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問題文全文(内容文):
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次の極限を求めよ。
(1)$\lim_{x \to 0}x\sin\displaystyle \frac{1}{x}$  (2)$\lim_{x \to -\infty}x\sin\displaystyle \frac{1}{x}$
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