問題文全文(内容文)：
$ 64000001を素因数分解すると3つの素因数分解をもつ.pqr(p \lt q \lt r)qの値を求めよ.$

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}\ 数列\left\{a_n\right\}を次のように定める。\\
a_1=1,　　a_{n+1}=a_n^2+1　　(n=1,2,3,\ldots)\\
(1)正の整数nが3の倍数のとき、a_nは5の倍数となることを示せ。\\
(2)k,nを正の整数とする。a_nがa_kの倍数となるための必要十分条件をk,nを\\
用いて表せ。\\
(3)a_{2022}と(a_{8091})^2の最大公約数を求めよ。
\end{eqnarray}

2022東京大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
第4問　(1)5^4=625を2^4で割った時の余りは1に等しい。このことを用いると、不定方程式\\
\\
5^4x-2^4y=1　\ldots①\\
\\
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのはx=\boxed{\ \ ア\ \ },y=\boxed{\ \ イウ\ \ }\\であることがわかる。\\
また、①の整数解のうち、xが2桁の正の整数で最小になるのは\\
x=\boxed{\ \ エオ\ \ },　y=\boxed{\ \ カキク\ \ }　である。\\
\\
(2)次に、625^2を5^5で割った時の余りと、2^5で割った時の余りについて考えてみよう。\\
まず、\\
625^2=5^{\boxed{ケ}}\\
であり、またm=\boxed{\ \ イウ\ \ }とすると、625^2=2^{\boxed{ケ}}\ m^2+2^{\boxed{コ}}\ m+1　である。\\
これらにより、625^2を5^5で割った時の余りと、2^5で割った時の余りがわかる。\\
\\
(3)(2)の考察は、不定方程式\\
\\
5^5x-2^5y=1　\ldots②\\
\\
の整数解を調べるために利用できる。x,yを②の整数解とする。\\
5^5xは5^5の倍数であり、2^5で割った時の余りは1となる。よって(2)により、\\
5^5x-625^2は5^5でも2^5でも割り切れる。5^5と2^5は互いに素なので\\
5^5x-625^2は5^5・2^5の倍数である。このことから、②の整数解のうち、\\
xが3桁の正の整数で最小になるのは\\
x=\boxed{\ \ サシス\ \ },　y=\boxed{\ \ セソタチツ\ \ }\\
であることが分かる。\\
\\
(4)11^4を2^4で割った時の余りは1に等しい。不定方程式\\
11^5x-2^5y=1\\
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは\\
x=\boxed{\ \ テト\ \ },　y=\boxed{\ \ ナニヌネノ\ \ }　である。
\end{eqnarray}

2022共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
$n$は自然数である.
$79^n+(-1)^n.2^{6n-5}$は必ずある自然数であるとき,$m$の倍数と最大値を求めよ.

問題文全文(内容文)：
2023富山大学
z整数,n自然数
$z^{3^{n}}-z^{3^{n-1}}$は$3^n$の倍数である。を次の場合で示せ
①n=1
②n=2
③すべてのn