福田の数学〜上智大学2023年理工学部第3問〜対数関数の積分と数学的帰納法 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜上智大学2023年理工学部第3問〜対数関数の積分と数学的帰納法

問題文全文(内容文):
$\Large\boxed{3}$ $e$を自然定数の底とする。自然数$n$に対して、
$S_n$=$\displaystyle\int_1^e(\log x)^n dx$
とする。
(1)$S_1$の値を求めよ。
(2)すべての自然数$n$に対して、
$S_n$=$a_n e$+$b_n$, ただし$a_n$, $b_n$はいずれも整数
と表されることを証明せよ。
単元: #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#対数関数#数列#数学的帰納法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
$\Large\boxed{3}$ $e$を自然定数の底とする。自然数$n$に対して、
$S_n$=$\displaystyle\int_1^e(\log x)^n dx$
とする。
(1)$S_1$の値を求めよ。
(2)すべての自然数$n$に対して、
$S_n$=$a_n e$+$b_n$, ただし$a_n$, $b_n$はいずれも整数
と表されることを証明せよ。
投稿日:2023.09.25

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問題文全文(内容文):
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指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
$a=3+\sqrt{10},b=3-\sqrt{10}$とし、正の整数nに対して$A_n=a^n+b^n$とおく。
このとき、$A_{2} ,A_{3}$の値はそれぞれ$A_{2}=\fbox{ク},A_{3}=\fbox{ケ}$であり、
$A_{n+2}$を$A_{n+1},A_{n}$を用いて表すと$A_{n+2}=\boxed{コ}$である。
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問題文全文(内容文):
$\Large\boxed{2}$ 1年目の初めに新規に100万円を預金し、2年目以降の毎年初めに12万円を追加で預金する。ただし、毎年の終わりに、その時点での預金額の8%が利子として預金に加算される。自然数$n$に対して、$n$年目の終わりに利子が加算された後の預金額を$S_n$万円とする。このとき、以下の問いに答えよ。
ただし、$\log_{10}2$=0.3010, $\log_{10}3$=0.4771とする。
(1)$S_1$, $S_2$をそれぞれ求めよ。
(2)$S_{n+1}$を$S_n$を用いて表せ。
(3)$S_n$を$n$を用いて表せ。
(4)$\log_{10}1.08$を求めよ。
(5)$S_n$>513 を満たす最小の自然数$n$を求めよ。
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問題文全文(内容文):
共通テスト数学90%取る勉強法説明動画です
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