福田の数学〜早稲田大学2023年教育学部第3問〜関数の増減と回転体の体積

問題文全文(内容文)：

3

実数

a

b

＞0に対し、

a

≦

b

の場合は

a

≦

x

≦

b

の範囲、

a

＞

b

の場合は

b

≦

x

≦

a

の範囲における

y

\log x

のグラフを

C_{a, b}

とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1)点(2,-1)と

C_{2, b}

上の点との距離の最小値を

b

を用いて表せ。
(2)直線

x

a

と直線

x

b

の間で、

C_{a, b}

と

x

軸によって囲まれる部分を

x

軸の周りに1回転して得られる立体の体積を

S_{a, b}

とする。

S_{1, b}

を

b

を用いて表せ。
(3)

S_{a, b}

を(2)で定義したものとする。

S_{a, a + 1}

が最小値をとる

a

の値を求めよ。

単元： #大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#立体図形#体積・表面積・回転体・水量・変化のグラフ#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

実数

a

b

＞0に対し、

a

≦

b

の場合は

a

≦

x

≦

b

の範囲、

a

＞

b

の場合は

b

≦

x

≦

a

の範囲における

y

\log x

のグラフを

C_{a, b}

とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1)点(2,-1)と

C_{2, b}

上の点との距離の最小値を

b

を用いて表せ。
(2)直線

x

a

と直線

x

b

の間で、

C_{a, b}

と

x

軸によって囲まれる部分を

x

軸の周りに1回転して得られる立体の体積を

S_{a, b}

とする。

S_{1, b}

を

b

を用いて表せ。
(3)

S_{a, b}

を(2)で定義したものとする。

S_{a, a + 1}

が最小値をとる

a

の値を求めよ。

投稿日：2023.10.19

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問題文全文(内容文)：

f (x) = x^{3} - 6 a x^{2} + b x + 1

x = a (a > 0)

で極大値

f (x)

と直線

y = f (a)

で囲まれた面積が

a^{2}

a

の値を求めよ

出典：1996年東北大学　過去問

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問題文全文(内容文)：

4

(1)

a

は

0 < a ≦ \frac{1}{2}

を満たす定数とする。

x ≧ 0

の範囲で不等式

a (x - \frac{x^{2}}{4}) ≦ \log (1 + a x)

　が成り立つことを示しなさい。

(2)

b

を実数の定数とする。

x ≧ 0

の範囲で不等式

\log (1 + \frac{1}{2} x) ≦ b x

が成り立つような

b

の最小値は

タ

である。

(3)

n

と

k

を自然数とし、

I (n, k) = lim_{t \to + 0}

\int_{0}^{\frac{k}{n}} \frac{\log (1 + \frac{1}{2} t x)}{t (1 + x)} d x

とおく。

I (n, k)

を求めると、

I (n, k) = チ

である。また

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} I (n, k) = ツ

　である。

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sinを微分するとどうなる？？

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
座標空間において、原点Oと点A(1,0,-1)と点B(0,5,0)がある。
実数

t

を用いて

t \vec{O A} + \vec{O B}

と表される点全体をlとする。また、平面xy平面上
の

y = x^{2}

を満たす点全体からなる曲線をCとする。
(1)曲線

C

上の点

P (a, a^{2}, 0)

を固定する。l上の点Qを、

\vec{O A}

と

\vec{P Q}

が垂直であるようにとる。このとき、点Qの座標をaを用いて表せ。
(2)曲線C上の点Rとl上の点Sのうち、

| \vec{R S} |

を最小にする点Rと点Sの
組み合わせを全て求めよ。また、そのときの

| \vec{R S} |

の値を求めよ。

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問題文全文(内容文)：
数学

III

平均値の定理(4)
微分可能な関数

f (x)

が

f (1) = 1, 0 < f^{'} (x) ≦ \frac{1}{2}

を満たしている。

a_{n + 1} = f (a_{n})

で定義される数列

{a_{n}}

について、

lim_{n \to \infty} a_{n} = 1

であることを示せ。

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の数学〜早稲田大学2023年教育学部第3問〜関数の増減と回転体の体積

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