数学「大学入試良問集」【13−7 数学的帰納法（13の倍数の証明）】を宇宙一わかりやすく

問題文全文(内容文)：

n

を自然数とするとき、

4^{2 n - 1} + 3^{n + 1}

は

13

の倍数であることを示せ。

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#信州大学#数B

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：

n

を自然数とするとき、

4^{2 n - 1} + 3^{n + 1}

は

13

の倍数であることを示せ。

投稿日：2021.06.04

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
自然数n が 2n-1 個続く、初項が1の次のような数列がある。
1,2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5,…

このとき、自然数 m が初めて現れるのは第何項か。
また第 2022項はいくつか。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
複素数

z_{n} (n = 1, 2, 3 \dots)

が次の式を満たしている。

z_{1} = 1, z_{2} = \frac{1}{2},

　複素数の積

z_{n} z_{n + 1} = \frac{1}{2} {(\frac{1 + \sqrt{3} i}{2})}^{n - 1}

このとき、

S = z_{1} + z_{2} + z_{3} + \dots \dots + z_{2002}

を求めよ。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

a_{n}

\frac{1}{n!} \int_{1}^{e} (\log x)^{n} d x

　(

n

=1,2,3,...)とおく。
(1)

a_{1}

を求めよ。
(2)不等式0≦

a_{n}

≦

\frac{e - 1}{n!}

　が成り立つことを示せ。
(3)

n

≧2のとき、

a_{n}

\frac{e}{n!}

a_{n - 1}

　であることを示せ。
(4)

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 2}^{n} \frac{(- 1)^{k}}{k!}

　を求めよ。

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一橋大　確率

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
サイコロを

n

回投げ、

k

回目の目を

a_{k}

。

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} 10^{n - k} a_{k}

次の確率を求めよ。

S_{n}

が
（1）4の倍数
（2）6の倍数
（3）7の倍数

出典：2013年一橋大学　過去問

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問題文全文(内容文)：

\sum_{k = 1}^{n} k (k!)

　を求めよ。

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