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三角形$ABC$において、辺$AB$の中点を$D$、辺$AC$を$3:2$に内分する点を$E$とし、線分$CD,BE$の交点を$P$とする。
$\overrightarrow{ AB }=\vec{ b },\overrightarrow{ AC }=\vec{ c }$とするとき、$\overrightarrow{ AP }$を$\vec{ b },\vec{ c }$を用いて表せ。

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$\vec{0}$でない2つのベクトル$\vec{a}, \vec{b}$について、
$|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|$ならば
$\vec{a} \perp \vec{b}$であることを示せ。

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平面上の△OABと任意の点Pに対し、次のベクトル方程式は円を表す。どのような円か。
OP・(OP-AB)=OA・OB

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nを自然数とする。整数i,jに対し、xy平面上の点$P_{i,j}$の座標を
$(\cos\frac{2\pi}{n}i+\cos\frac{2\pi}{n}j,　\sin\frac{2\pi}{n}i+\sin\frac{2\pi}{n}j)$
で与える。さらに、i,jを動かしたとき、$P_{i,j}$の取り得る異なる座標の
個数を$S_n$とする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$n=3$のとき、$\triangle P_{0,0}P_{0,1}P_{0,2}$および$\triangle P_{1,0}P_{1,1}P_{1,2}$を同一平面上
に図示せよ。
(2)$S_4$を求めよ。
(3)平面上の異なる2点A,Bに対して、$AQ=BQ=1$であるような
同一平面上の点Qはいくつあるか。AB=dの値で場合分けして答えよ。
(4)$S_n$をnを用いて表せ。

2022東京医科歯科大学理系過去問