問題文全文(内容文)：
以下の問いに答えよ。
(1)実数$\alpha ,\beta$に対し、

${\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(x-\beta )dx=\frac{(\alpha -\beta {)}^3}{6}$
が成り立つことを示せ。
(2)a,bを$b>a^2$を満たす定数とし、座標平面に点$A(a,b)$をとる。さらに、
点Aを通り、傾きがkの直線をlとし、直線lと放物線$y=x^2$で囲まれた部分の面積を
$S(k)$とする。kが実数全体を動くとき、$S(k)$の最小値を求めよ。

2022大阪大学文系過去問

問題文全文(内容文)：
(7)1辺の長さが$\sqrt{2}$の正三角形を底面とし、高さが4の直三角柱を考える。
この直三角柱を以下の条件①と条件②を共に満たす平面で切断するとき、切断面の
面積の最小値は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}$である。ただし、直三角柱は底面と側面が垂直である三角柱
のことである。
条件①　切断面が直角三角形になる。
条件②　切断面の図形のすべての辺が直三角柱の側面上にある。

2022慶應義塾大学薬学部過去問

問題文全文(内容文)：
第3問
放物線y=$x^2$のうち-1≦x≦1を満たす部分をCとする。
座標平面上の原点Oと点A(1,0)を考える。k＞0を実数とする。点PがC上を動き、点Qが線分OA上を動くとき
$\overrightarrow{OR}$=$\frac{1}{k}\overrightarrow{OP}$+$k\overrightarrow{OQ}$
を満たす点Rが動く領域の面積をS(k)とする。
S(k)および${\displaystyle \underset{k\to +0}{lim}S(k)}$,　${\displaystyle \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}S(k)}$を求めよ。

2018東京大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 4}}$ qを実数とする。座標平面上に円C：$x^2$+$y^2$=1と放物線P：y=$x^2$+q がある。
(1)CとPに同じ点で接する傾き正の直線が存在するとき、qの値およびその接点の座標を求めよ。
(2)(1)で求めたqの値を$q_1$、接点のy座標を$y_1$とするとき、連立不等式
$\{\begin{array}{}{x}^2+y^2\geqq 1\\ y\geqq x^2+q_1\\ y\leqq y_1\end{array}$
の表す領域の面積を求めよ。

2023北海道大学文系過去問

問題文全文(内容文)：
第2問
[1](1)kを正の定数とし、次の3次関数を考える。
$f(x)=x^2(k-x)$
y=f(x)のグラフとx軸との共有点の座標は(0, 0)と($\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}}$, 0)である。
f(x)の導関数f'(x)は
f'(x)=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}\mathrm{ウ}}}{x}^2+\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}kx$
である。
x=$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}$のとき、f(x)は極小値$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}}$をとる。
x=$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}}$のとき、f(x)は極大値$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}$をとる。
また、0＜x＜kの範囲においてx=$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}}$のときf(x)は最大となることがわかる。

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}}$,　$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}$~$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}$ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪0　①$\frac{1}{3}k$　②$\frac{1}{2}k$　③$\frac{2}{3}k$　
④k　⑤$\frac{3}{2}k$　⑥$-4k^2$　⑦$\frac{1}{8}{k}^2$　
⑧$\frac{2}{27}{k}^3$　⑨$\frac{4}{27}{k}^3$　ⓐ$\frac{4}{9}{k}^3$　ⓑ$4k^3$

(2)後の図のように底面が半径9の円で高さが15の円錐に内接する円柱を考える。円柱の底面の半径と体積をそれぞれx, Vとする。Vをxの式で表すと
V=$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}\pi x^2(\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}-x)$(0＜x＜9)
である。(1)の考察より、x=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}$のときVは最大となることがわかる。Vの最大値は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}\mathrm{セ}\mathrm{ソ}}}\pi$である。

[2](1)定積分${\displaystyle {\int }_0^{30}(\frac{1}{5}x+3)dx}$の値は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}\mathrm{チ}\mathrm{ツ}}}$である。
また、関数${\displaystyle \frac{1}{100}{x}^2-\frac{1}{6}x+5}$の不定積分は
${\displaystyle \int (\frac{1}{100}{x}^2-\frac{1}{6}x+5)dx}$=${\displaystyle \frac{1}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}\mathrm{ト}\mathrm{ナ}}}}{x}^3-\frac{1}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}\mathrm{ヌ}}}}{x}^2+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}}x+C}$である。ただし、Cは積分定数とする。
(2)ある地域では、毎年3月頃「ソメイヨシノ(桜の種類)の開花予想日」が話題になる。太郎さんと花子さんは、開花日時を予想する方法の一つに、2月に入ってからの気温を時間の関数とみて、その関数を積分した値をもとにする方法があることを知った。ソメイヨシノの開花日時を予想するために、二人は図1の6時間ごとの気温の折れ線グラフを見ながら、次のように考えることにした。(※図1は動画参照)
xの値の範囲を0以上の実数全体として、2月1日午前0時から24x時間経った時点をx日後とする。(例えば、10.3日後は2月11日午前7時12分を表す。)また、x日後の気温をy℃とする。このとき、yはxの関数であり、これをy=f(x)とおく。ただし、yは負にはならないものとする。
気温を表す関数f(x)を用いて二人はソメイヨシノの開花日時を次の設定で考えることにした。
設定：正の実数tに対して、f(x)を0からtまで積分した値をS(t)とする。すなわち、S(t)=${\displaystyle {\int }_0^{t}f(x)dx}$とする。このS(t)が400に到達したとき、ソメイヨシノが開花する。
設定のもと、太郎さんは気温を表す関数y=f(x)のグラフを図2(※動画参照)のように直線とみなしてソメイヨシノの開花日時を考えることにした。
(i)太郎さんは
$f(x)={\displaystyle \frac{1}{5}x+3}$　(x ≧0)
として考えた。このとき、ソメイヨシノの開花日時は2月に入ってから$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ノ}}}}}$となる。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ノ}}}}}$の解答群
⓪30日後　①35日後　②40日後　
③45日後　④50日後　⑤55日後　
⑥60日後　⑦65日後
(ii)太郎さんと花子さんは、2月に入ってから30日後以降の気温について話をしている。
太郎：1次関数を用いてソメイヨシノの開花日時を求めてみたよ。
花子：気温の上がり方から考えて、2月に入ってから30日後以降の気温を表す関数が2次関数の場合も考えて見ようか。
花子さんは気温を表す関数f(x)を、0≦x≦30のときは太郎さんと同じように
f(x)=$\frac{1}{5}x+3$　...①
とし、x≧30のときは
f(x)=$\frac{1}{100}{x}^2-\frac{1}{6}x+5$　...②
として考えた。なお、x=30のとき①の右辺の値と②の右辺の値は一致する。花子さんの考えた式を用いて、ソメイヨシノの開花日時を考えよう。(1)より
${\displaystyle {\int }_0^{30}(\frac{1}{5}x+3)dx}$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}\mathrm{チ}\mathrm{ツ}}}$
であり
${\displaystyle {\int }_{30}^{40}(\frac{1}{100}{x}^2-\frac{1}{6}x+5)dx}$=115
となることがわかる。
また、x ≧30の範囲においてf(x)は増加する。よって
${\displaystyle {\int }_{30}^{40}f(x)dx}$ $\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ハ}}}}}$ ${\displaystyle {\int }_{40}^{50}f(x)dx}$
であることがわかる。以上より、ソメイヨシノの開花日時は2月に入ってから$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ヒ}}}}}$となる。

2023共通テスト過去問