問題文全文(内容文)：

$\boxed{2}$

薬を病気にかかっている患者に投与すると、
投与された患者のうちの$40$% に治療の効果が認められる。
この薬に対し、新しく開発した薬$\beta$の方が
治療の効果が認められる割合が高いかどうか、
有意水準$5$%で検定を行う。
病気$X$にかかっている患者から無作為に抽出した$1000$人に
薬を投与したとき、
$n$人以上に治療の効果が認められると、
薬$\alpha$よりも薬$\beta$の方が効果が認められる割合が高いと判断される。
ただし、薬の治療効果の標本比率を$R$、母比率を$p$とする。

(1) 帰無仮説$H_0$と対立仮説$H_1$に設定する式は
$H_0:\boxed{チ},H_1:\boxed{ツ}$である。
$H_0$が正しいと仮定するとき、
$R$は近似的に正規分布$N(\boxed{テ},\boxed{ト})$に従う。

(2) (1) をふまえ、
$n$のとりうる最小の値を求めなさい。
ただし、解答に
「標準正規分布」と「棄却域」という言葉を含めなさい。
なお、
$\sqrt{2}=1.4,\sqrt3=1.7,\sqrt5 = 2.2$として計算し、
必要に応じて正規分布表を用いなさい。

$2025$年慶應義塾大学薬学部過去問題

問題文全文(内容文)：
1個のさいころを5回投げて,3の倍数の目が出る回数を$X$とする.
$X$はどのような二項分布に従うか.
また,次の確率を求めよう.

①$P(x=2)$

②$P(4\leqq X \leqq 5)$

③$P(X \leqq 2)$

問題文全文(内容文)：
(1)A地区で保護されるジャガイモには1個の重さが200gを超えるものが
25%含まれることが経験的にわかっている。花子さんはA地区で収穫された
ジャガイモから400個を無作為に抽出し、重さを計測した。そのうち、重さが
200gを超えるジャガイモの個数を表す確率変数をZとする。このときZは
二項分布B($400,0,\boxed{\ \ アイ\ \ }$)に従うから、Zの平均(期待値)は$\boxed{\ \ ウエオ\ \ }$である。

(2)Zを(1)の確率変数とし、A地区で収穫されたジャガイモ400個からなる標本において
重さが200gを超えていたジャガイモの標本における比率を
$R=\frac{Z}{400}$とする。このとき、Rの標準偏差は$\sigma(R)=\boxed{\ \ カ\ \ }$である。
標本の大きさ400は十分に大きいので、Rは近似的に正規分布
$N(0,\boxed{\ \ アイ\ \ },(\boxed{\ \ カ\ \ })^2)$に従う。
したがって、$P(R \geqq x)=0.0465$となるようなxの値は$\boxed{\ \ キ\ \ }$となる。
ただし、$\boxed{\ \ キ\ \ }$の計算においては$\sqrt3=1.73$とする。

$\boxed{\ \ カ\ \ }$の解答群
⓪$\frac{3}{6400}$　　①$\frac{\sqrt3}{4}$　　②$\frac{\sqrt3}{80}$　　③$\frac{3}{40}$　

$\boxed{\ \ キ\ \ }$については、最も適当なものを、次の⓪～③のうちから一つ選べ。
⓪0.209　　　①0.251　　　②0.286　　　③0.395

(3)B地区で収穫され、出荷される予定のジャガイモ1個の重さは100gから
300gの間に分布している。B地区で収穫され、出荷される予定のジャガイモ
1個の重さを表す確率変数をXとするとき、Xは連続型確率変数であり、X
の取り得る値xの範囲は$100 \leqq x \leqq 300$である。
花子さんは、B地区で収穫され、出荷される予定の全てのジャガイモのうち、
重さが200g以上のものの割合を見積もりたいと考えた。そのために花子さんは
Xの確率密度関数f(x)として適当な関数を定め、それを用いて割合を
見積もるという方針を立てた。
B地区で収穫され、出荷される予定のジャガイモから206個を無作為に抽出
したところ、重さの標本平均は180gであった。
図1(※動画参照)はこの標本のヒストグラムである。

花子さんは図1のヒストグラムにおいて、重さxの増加とともに度数がほぼ
一定の割合で減少している傾向に着目し、Xの確率密度関数f(x)として、1次関数
$f(x)=ax+b　(100 \leqq x \leqq 300)$
を考えることにした。ただし、$100 \leqq x \leqq 300$の範囲で$f(x) \geqq 0$とする。
このとき、$P(100 \leqq X \leqq 300)=\boxed{\ \ ク\ \ }$であることから

$\boxed{\ \ ケ\ \ }・10^4a+\boxed{\ \ コ\ \ }・10^2b=\boxed{\ \ ク\ \ }　\ldots①$
である。
花子さんは、Xの平均(期待値)が重さの標本平均180gと等しくなるように
確率密度関数を定める方法を用いることにした。
連続型確率変数Xの取り得る値xの範囲が$100 \leqq x \leqq 300$で、その
確率密度関数がf(x)のとき、Xの平均(期待値)mは
$m=\int_{100}^{300}xf(x)dx$
で定義される。この定義と花子さんの採用した方法から
$m=\frac{26}{3}・10^5a+4・10^4b=180　\ldots②$
となる。①と②により、確率密度関数は
$f(x)=-\ \boxed{\ \ サ\ \ }・10^{-5}x+\boxed{\ \ シス\ \ }・10^{-3}　\ldots③$
と得られる。このようにして得られた③のf(x)は、$100 \leqq x \leqq 300$の範囲で
$f(x) \geqq 0$を満たしており、確かに確率密度関数として適当である。
したがって、この花子さんお方針に基づくと、B地区で収穫され、出荷される
予定の全てのジャガイモのうち、重さが200g以上のものは$\boxed{\ \ セ\ \ }%$
あると見積もることができる。

$\boxed{\ \ セ\ \ }$については、最も適当なものを、次の⓪～③のうちから一つ選べ。
⓪33　①34　②35　③36

2022共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
・1000人の生徒に数学のテストを行ったところ、その成績は平均48点、標準偏差15点であった。成績が正規分布に従うものとするとき、次の問いに答えよ。
(1) ある生徒の点数が78点以上である確率を求めよ。
(2) 78点以上の生徒は約何人いると考えられるか。
(3) 30点以下の生徒は約何人いると考えられるか。

・ある植物の種子の発芽率は80%であるという。この植物の種子を900個まいたとき、次の問いに答えよ。
(1) 750個以上の種子が発芽する確率を求めよ。
(2) 900個のうちn個以上の種子が発芽する確率が80%以上となるようなnの最大値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
${\large第5問}$
ある市の市立図書館の利用状況について調査を行った。

(1)ある高校の生徒720人全員を対象に、ある1週間に市立図書館で借りた本の
冊数について調査を行った。
その結果、1冊も借りなかった生徒が612人、1冊借りた生徒が54人、
2冊借りた生徒が36人であり、3冊借りた生徒が18人であった。
4冊以上借りた生徒はいなかった。

この高校の生徒から1人を無作為に選んだ時、その生徒が借りた本の冊数
を表す確率変数を$X$とする。

このとき、$X$の平均(期待値)は$E(X)=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }}$であり、$X^2$の平均は
$E(X^2)=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ウ\ \ }}{\boxed{\ \ エ\ \ }}$である。よって、$X$の標準偏差は
$\sigma(X)=\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\ \ オ\ \ }}}{\boxed{\ \ カ\ \ }}\displaystyle$ である。

(2)市内の高校生全員を母集団とし、ある1週間に市立図書館を利用した生徒の
割合(母比率)を$p$とする。この母集団から600人を無作為に選んだ時、その
1週間に市立図書館を利用した生徒の数を確率変数$Y$で表す。

$p=0.4$のとき、$Y$の平均は$E(Y)=\boxed{\ \ キクケ\ \ }$、標準偏差は$\sigma(Y)=\boxed{\ \ コサ\ \ }$
になる。ここで、$Z=\displaystyle \frac{Y-\boxed{\ \ キクケ\ \ }}{\boxed{\ \ コサ\ \ }}\displaystyle$ とおくと、標本数600は
十分に大きいので、$Z$は近似的に標準正規分布に従う。このことを利用して、
$Y$が215以下となる確率を求めると、その確率は$0.\boxed{\ \ シス\ \ }$になる。

また、$p=0.2$のとき、$Y$の平均は$\boxed{\ \ キクケ\ \ }$の$\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ セ\ \ }}$倍、
標準偏差は$\boxed{\ \ コサ\ \ }$の$\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}}{3}$倍である。

(3)市立図書館に利用者登録のある高校生全員を母集団とする。1回あたりの
利用時間(分)を表す確率変数を$W$とし、$W$は母平均$m$,母標準偏差30の分布
に従うとする。この母集団から大きさ$n$の標本$W_1,W_2,\ldots,W_n$を無作為に
抽出した。
利用時間が60分をどの程度超えるかについて調査するために
$U_1=W_1-60,　U_2=W_2-60,　\ldots,　U_n=W_n-60$
とおくと、確率変数$U_1,U_2, \cdots, U_n$の平均と標準偏差はそれぞれ
$E(U_1)=E(U_2)=\cdots=E(U_n)$$=m-\boxed{\ \ タチ\ \ }$
$\sigma(U_1)=\sigma(U_2)=\cdots=\sigma(U_n)$$=\boxed{\ \ ツテ\ \ }$
である。

ここで、$t=m-60$として、$t$に対する信頼度95％の信頼区間を求めよう。
この母集団から無作為抽出された100人の生徒に対して$U_1,U_2, \cdots,U_m$の
値を調べたところ、その標本平均の値が50分であった。標本数は十分大きい
ことを利用して、この信頼区間を求めると
$\boxed{\ \ トナ\ \ }.\boxed{\ \ ニ\ \ } \leqq t \leqq \boxed{\ \ ヌネ\ \ }.\boxed{\ \ ノ\ \ }$
になる。

2020センター試験過去問