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数Ⅲ(定積分の置換積分法③)
Q次の定積分を求めよ。

①${\int }_{-\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}}{x}^2\sin xdx$

➁${\int }_{-1}^1\frac{1-x}{1+x^2}dx$

③${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{3}xdx$

問題文全文(内容文)：
【千葉大学 2023】
等式${\displaystyle f(x)=x^2+{\int }_{-1}^2(xf(t)-t)dt}$を満たす関数$f(x)$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 6}}$ $xyz$空間内の$xy$平面上にある円C：$x^2$+$y^2$=1および円盤D：$x^2$+$y^2$≦1を考える。Dを底面とし点P(0,0,1)を頂点とする円錐をKとする。A(0,-1,0), B(0,1,0)とする。$xyz$空間内の平面H：$z$=$x$を考える。すなわち、Hは$xz$平面上の直線$z$=$x$と線分ABをともに含む平面である。Kの側面とHの交わりとしてできる曲線をEとする。$-\frac{\pi }{2}$≦$\theta$≦$\frac{\pi }{2}$を満たす実数$\theta$に対し、円C上の点Q($\cos \theta$,$\sin \theta$,0)をとり、線分PQとEの共有点をRとする。
(1)線分PRの長さを$r(\theta )$とおく。$r(\theta )$を$\theta$を用いて表せ。
(2)円錐Kの側面のうち、曲線Eの点Aから点Rまでを結ぶ部分、線分PA、および線分PRにより囲まれた部分の面積を$S(\theta )$とおく。$\theta$と実数$h$が条件0≦$\theta$＜$\theta$+$h$≦$\frac{\pi }{2}$　を満たすとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
$\frac{h{\{r(\theta )\}}^2}{2\sqrt{2}}$≦$S(\theta +h)-S(\theta )$≦$\frac{h{\{r(\theta +h)\}}^2}{2\sqrt{2}}$
(3)円錐Kの側面のうち、円Cの$x$≧0の部分と曲線Eにより囲まれた部分の面積をTとおく。Tを求めよ。必要であれば$\tan \frac{\theta }{2}$=$uとおく置換積分を用いてもよい。

問題文全文(内容文)：
【奈良教育大学 2023】
以下の問いに答えよ。
(1) 次の関数の導関数を求めよ。ただし、対数は自然対数とする。
(i) $log|x+\sqrt{1+x^2}|$
(ii) ${\displaystyle \frac{1}{2}(x\sqrt{1+x^2}+log|x+\sqrt{1+x^2}|)}$
(2)次の等式を示せ。
${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{co{s}^{3}x}{\sqrt{1+si{n}^{2}x}}dx=\frac{1}{2}\{3log(1+\sqrt{2})-\sqrt{2}\}}$

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$\boxed{{\displaystyle 1}}$　自然数nに対し、定積分$I_n$=${\displaystyle {\int }_0^1\frac{x^n}{x^2+1}dx}$を考える。このとき、次の問いに答えよ。
(1)$I_n$+$I_{n+2}$=$\frac{1}{n+1}$を示せ。
(2)0≦$I_{n+1}$≦$I_n$≦$\frac{1}{n+1}$を示せ。
(3)${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{I}_n}$　を求めよ。
(4)$S_n$=${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k-1}}{2k}}$　とする。このとき(1), (2)を用いて${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n}$　を求めよ。

2018名古屋大学理系過去問