問題文全文(内容文)：

$\boxed{2}$

空間の点$(0,0,1)$を通り

$(1,-1,0)$を方向ベクトルとする

直線を$\ell$とし、点$(1,0,3)$を通り$(0,1,-2)$を

方向ベクトルとする直線を$m$とする。

(1)$P$を$\ell$上の点とし、$Q$を$m$上の点とする。

また直線$PQ$は直線$\ell$と直線$m$に垂線であるとする。

このとき$P$と$Q$の座標、

および線分$PQ$の長さを求めよ。

(2)$\ell$上に$2$点

$A=(t,-t,1),$

$B(2+t+\sin t,-2-t-\sin t,1)$

があり、$m$上に$2$点

$C=(1,t,3,-2t),$

$D=(1,2+t<\cos t,-1-2t-2\cos t)$

があるとする。ただし、$y$は実数とする。

四面体$ABCD$の体積を$V(t)$とする。

$V(0)$を求めよ。

(3)$t$が$t\geqq 0$を動くとき、

$V(t)$の最大値と最小値を求めよ。

$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{7}$ 座標空間に点C(0,1,1)を中心とする半径1の球面Sがある。点P(0,0,3)からSに引いた接線と$xy$平面との交点をQとする。$\overrightarrow{PC}・\overrightarrow{PQ}$=$t|\overrightarrow{PQ}|$と表すとき、
$t$=$\boxed{\ \ テ \ \ }$である。点Qは楕円状にあり、この楕円を
$\displaystyle\frac{(x+b)^2}{a}$+$\displaystyle\frac{(y+d)^2}{c}$=1
とするとき、$a$=$\boxed{\ \ ト\ \ }$,　$b$=$\boxed{\ \ ナ\ \ }$,　$c$=$\boxed{\ \ ニ\ \ }$,　$d$=$\boxed{\ \ ヌ\ \ }$　である。
また、点Pに光源があるとき、球面Sで光が当たる部分を点Rが動く。ただし、
球面Sは光を通さない。このとき線分PRが通過してできる図形の体積は
2$\pi$・$\displaystyle\frac{\boxed{ネ}+\boxed{ノ}\sqrt{\boxed{ハ}}}{\boxed{ヒ}}$
である。

問題文全文(内容文)：
(1)球面x²+y²+z²-4x-6y+2z+5=0とxy平面の交わりは円になる。この円の中心と半径を求めよう。
(2)中心が点(-2,4,-2)で、2つの座標平面に接する球面Sの方程式を求めよう。また、Sと平面x=kの交わりが半径√3の円になるとき、kの値を求めよう。

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{4}}$tを実数とする。また、Oを原点とする座標空間内に
3点$A(4,2,5),\ B(-1,1,1),\ C(2-t,4-3t,6+2t)$をとる。
(1)$\triangle OAB$の面積を求めよ。
(2)4点O,A,B,Cが同一平面上にあるとき、Cの座標を求めよ。
(3)点Cがxy平面上にあるとき、四面体OABCの体積Vを求めよ。
(4)四面体OABCの体積が(3)で求めたVの3倍となるようなtの値を
すべて求めよ。

2022慶應義塾大学経済学部過去問

問題文全文(内容文)：
$1$ 辺の長さが $2$ の正四面体 $\mathrm{ABCD}$ において、辺 $\mathrm{AD}$ 上の点 $\mathrm{E}$、辺 $\mathrm{DC}$ 上の点 $\mathrm{F}$、辺 $\mathrm{CA}$ 上の点 $\mathrm{G}$、辺 $\mathrm{BC}$ 上の点 $\mathrm{H}$ を$\mathrm{AE}$$=\mathrm{DF}$$=\mathrm{CG}$$=2t,$ $\mathrm{BH}=t$ となるようにとる。ただし、 $0 \leqq t \leqq 1$ とする。
$(1)$ $\triangle \mathrm{EFG}$ の面積は $\sqrt{\fbox{ア}}(\fbox{イ}t^2$$+\fbox{ウ}t$$+\fbox{エ})$ である。
$(2)$ $\mathrm{B}$ から平面 $\mathrm{ACD}$ に垂線を下ろし、平面 $\mathrm{ACD}$ との交点を $\mathrm{P}$ とするとき、 $\mathrm{BP} = \frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}}\sqrt{\fbox{キ}}$ である。
$(3)$ $\mathrm{H}$ から平面 $\mathrm{EFG}$ に垂線を下ろし、平面 $\mathrm{EFG}$ との交点を $\mathrm{Q}$ とするとき、 $\mathrm{HQ} = \frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}\sqrt{\fbox{コ}}(t+\fbox{サ})$ である。
$(4)$ 四面体 $\mathrm{HEFG}$ の体積が最小になるのは
$t=\fbox{シ} + \frac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}}\sqrt{\fbox{ソ}}$