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「無限」理系にはこう聞こえています.

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$数学\textrm{III}$　$関数の連続性(1)$

$\displaystyle f(x) =\lim_{n \to \infty}\frac{x^{2n}-x^{2n-1}+ax^2+bx}{x^{2n}+1}$
が連続関数となるように$aとb$を定めよ。

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$ \displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{x^2+2x-3}{x^2+x-2}$を求めよ.

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$\boxed{1}$$\quad$関数$f(x)$を$x\geqq 0$に対して

$f(x)=x\log(1+x)$と定める。

(1)不定積分$\displaystyle \int x\log(1+x)dx$を求めよ。

(2)$y=f(x) \quad (x\geqq 0)$の逆関数を

$y=g(x) \quad (x\geqq 0)$とする。

また、$a,b$を$g(a)=1,g(b)=2$となる

実数となる。

このとき定積分$I=\displaystyle \int_{a}{b} g(x)dx$の値を求めよ。

(3)関数$P(x)$を$x\geqq 0$に対して

$P(x)=\displaystyle \int_{0}^{x}\sqrt{1+f(t)dt}$と定める。

このとき、$y=P(x)$について、

定義域を$x\geqq 0$とする逆関数

$y=Q(x)$が微分可能であることは

説明なしに認めてよい。

関数$R(x)$を$x\geqq 0$に対して

$R(x)=\displaystyle int_{0}^{P(x)}\dfrac{1}{Q'(\upsilon)}$と定めるとき、

$R(x)$を求めよ。

図は動画内参照

$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)理系過去問題

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中学生の知識でオイラーの公式を理解しよう　VOL ６　e ネイピア数の正体