問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ 何も入っていない2つの袋A,Bがある。いま、「硬貨を1枚投げて表が出たら袋A、裏が出たら袋Bを選び、以下のルールに従って選んだ袋の中に玉を入れる」
という操作を繰り返す。
ルール
・選んだ袋の中に入っている玉の数がもう一方の袋の中に入っている玉の数より多いか、2つの袋の中に入っている玉の数が同じとき、選んだ袋の中に玉を1個入れる。
・選んだ袋の中に入っている玉の数がもう一方の袋の中に入っている玉の数より少ないとき、選んだ袋の中に入っている玉の数が、もう一方の袋の中に入っている玉の数と同じになるまで選んだ袋の中に玉をいれる。

たとえば、上の操作を3回行ったとき、硬貨が順に表、表、裏と出たとすると、
A,B2つの袋の中の玉の数は次のように変化する。
A：0個　B：0個　→　A：1個　B：0個　→　A：2個　B：0個　→　A：2個　B：2個
(1)4回目の操作を終えたとき、袋Aの中に3個以上の玉が入っている確率は$\boxed{\ \ カ\ \ }$である。また、4回目の操作を終えた時点で袋Aの中に3個以上の玉が入っているという条件の下で、7回目の操作を終えたとき袋Bの中に入っている玉の数が3個以下である条件付き確率は$\boxed{\ \ キ\ \ }$である。
(2)$n$回目の操作を終えたとき、袋Aの中に入っている玉の数のほうが、袋Bの中に入っている玉の数より多い確率を$p_n$とする。
$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表すと$p_{n+1}$=$\boxed{\ \ ク\ \ }$となり、これより$p_n$を$n$を用いて表すと$p_n$=$\boxed{\ \ ケ\ \ }$となる。
(3)$n$回目($n$≧4)の操作を終えたとき、袋Aの中に$n-1$個以上の玉が入っている確率は$\boxed{\ \ コ\ \ }$であり、$n-2$個以上の玉が入っている確率は$\boxed{\ \ サ\ \ }$である。

問題文全文(内容文)：
$\overbrace{ 1111 + \cdots +11}^{3^n桁}$は$3^n$で割り切れるが
$3^{n+1}$では割り切れないことを示せ.

東大過去問

問題文全文(内容文)：
共通テスト2024の数学ⅡB第4問数列を徹底解説します

2024共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
$m$を$0$以上の整数、$n$を$1$以上の整数、$t$を $0 < t < 1$ を満たす実数とし、$F(m, n)$を
$F(m, n)= \displaystyle \sum_{k=m}^{m+n-1} {{}_k \mathrm{ C }_m t^k}$
で定める。

(1) $p$を整数とする。
$
A = \dfrac{(t - 1) F(m + 1, n) + tF(m, n)}{t ^ p}
$
が$t$によらない値となる$p$と、そのときの$A$を求めよ。

(2)極限 $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } F(m, n)$ が収束することを示し、その極限値を求めよ。ただし、$0 < s < 1$のとき
$ \displaystyle \lim_{ k \to \infty }k ^ m s ^ k$
であることは用いてよい。

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 2^k$を計算せよ。

出典：2020年鳥取大学　入試問題