問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}1\mathrm{問}$
[1]　$a,b$を定数とするとき、$x$についての不等式
$|ax-b-7|<3$　$\cdots$①
を考える。
(1)$a=-3,b=-2$とする。①を満たす整数全体の集合を$P$とする。
この集合$P$を、要素を書き並べて表すと
$P=\{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}\mathrm{イ}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}\mathrm{エ}}}\}$
となる。ただし、$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}\mathrm{イ}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}\mathrm{エ}}}$の解答の順序は問わない。

(2)$a={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$とする。
$(\text{i})b=1$のとき、①を満たす整数は全部で$\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$個である。
$(\text{ii})$①を満たす整数が全部で$(\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}+1)$個であるような正の整数$b$
のうち、最小のものは$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$である。

[2]平面上に2点$A,B$があり、$AB=8$である。直線$AB$上にない点$P$をとり、
$\mathrm{△}ABP$をつくり、その外接円の半径を$R$とする。
太郎さんは、図1(※動画参照)のように、コンピュータソフトを使って点$P$
をいろいろな位置に取った。
図1は、点$P$をいろいろな位置にとったときの$\mathrm{△}$の外接円をかいたものである。

(1)太郎さんは、点$P$のとり方によって外接円の半径が異なることに気づき、
次の問題1を考えることにした。

問題1:点$P$をいろいろな位置にとるとき、外接円の半径$R$が最小となる
$\mathrm{△}ABP$はどのような三角形か。
正弦定理により、$2R={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}{\sin \mathrm{\angle }APB}}$である。よって、
Rが最小となるのは$\mathrm{\angle }APB=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}\mathrm{ケ}}}°$の三角形である。
このとき、$R=\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}$である。


(2)太郎さんは、図2(※動画参照)のように、問題1の点$P$のとり方に
条件を付けて、次の問題2を考えた。

問題2:直線$AB$に平行な直線を$l$とし、直線l上で点$P$をいろいろな
位置にとる。このとき、外接円の半径$R$が最小となる$\mathrm{△}ABP$は
どのような三角形か。

太郎さんは、この問題を解決するために、次の構想を立てた。

問題2の解決の構想
問題1の考察から、線分$AB$を直径とする円を$C$とし、円$C$に着目
する。直線lは、その位置によって、円$C$と共有点を持つ場合と
もたない場合があるので、それぞれの場合に分けて考える。

直線$AB$と直線lとの距離を$h$とする。直線lが円$C$と共有点を
持つ場合は、$h\leqq \boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}$のときであり、共有点をもたない場合は、
$h>\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}$のときである。

$(\text{i})h\leqq \boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}$のとき
直線$l$が円$C$と共有点をもつので、$R$が最小となる$\mathrm{△}ABP$は、
$h<\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}$のとき$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}}$であり、$h=\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}$のとき直角二等辺三角形
である。

$(\text{ii})h>\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}$のとき
線分$AB$の垂直二等分線を$m$とし、直線$m$と直線$l$との交点を$P_1$とする。
直線$l$上にあり点$P_1$とは異なる点を$P_2$とするとき$\sin \mathrm{\angle }A{P}_{1}B$
と$\sin \mathrm{\angle }A{P}_{2}B$の大小を考える。
$\mathrm{△}AB{P}_2$の外接円と直線$m$との共有点のうち、直線$AB$に関して点$P_2$
と同じ側にある点を$P_3$とすると、$\mathrm{\angle }A{P}_{3}B\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}}\mathrm{\angle }A{P}_{2}B$である。
また、$\mathrm{\angle }A{P}_{3}B<\mathrm{\angle }A{P}_{1}B<90°$より$\sin \mathrm{\angle }A{P}_{3}B\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}}\mathrm{\angle }A{P}_{1}B$である。
このとき$(\mathrm{△}AB{P}_1$の外接円の半径$)\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}}(\mathrm{△}AB{P}_2$の外接円の半径)
であり、$R$が最小となる$\mathrm{△}ABP$は$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}}}$である。

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}}, \boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}}}$については、最も適当なものを、次の⓪～④のうち
から一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
⓪鈍角三角形　①直角三角形　②正三角形
③二等辺三角形　④直角二等辺三角形

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}}～\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$<$　①$=$　②$>$

(3)問題2の考察を振り返って、$h=8$のとき、$\mathrm{△}ABP$の外接円の半径$R$
が最小である場合について考える。このとき、$\sin \mathrm{\angle }APB={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}}}$
であり、$R=\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}}}$である。

2021共通テスト過去問