福田の数学〜早稲田大学2023年理工学部第３問〜逆関数とで囲まれる面積

問題文全文(内容文)：

3

実数xに対して関数f(x)をf(x)=

e^{x - 2}

で定め、正の実数xに対して関数g(x)をg(x)=

\log x

+2で定める。またy=f(x), y=g(x)のグラフをそれぞれ

C_{1}

C_{2}

とする。以下の問いに答えよ。
(1)f(x)とg(x)がそれぞれ互いの逆関数であることを示せ。
(2)直線y=xと

C_{1}

が2点で交わることを示せ。ただし、必要なら2＜e＜3を証明しないで用いてよい。
(3)直線y=xと

C_{1}

との2つの交点のx座標を

α

β

とする。ただし

α

＜

β

とする。
直線y=xと

C_{1}

C_{2}

をすべて同じxy平面上に図示せよ。
(4)

C_{1}

と

C_{2}

で囲まれる図形の面積を(3)の

α

と

β

の多項式で表せ。

2023早稲田大学理工学部過去問

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#微分法#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

実数xに対して関数f(x)をf(x)=

e^{x - 2}

で定め、正の実数xに対して関数g(x)をg(x)=

\log x

+2で定める。またy=f(x), y=g(x)のグラフをそれぞれ

C_{1}

C_{2}

とする。以下の問いに答えよ。
(1)f(x)とg(x)がそれぞれ互いの逆関数であることを示せ。
(2)直線y=xと

C_{1}

が2点で交わることを示せ。ただし、必要なら2＜e＜3を証明しないで用いてよい。
(3)直線y=xと

C_{1}

との2つの交点のx座標を

α

β

とする。ただし

α

＜

β

とする。
直線y=xと

C_{1}

C_{2}

をすべて同じxy平面上に図示せよ。
(4)

C_{1}

と

C_{2}

で囲まれる図形の面積を(3)の

α

と

β

の多項式で表せ。

2023早稲田大学理工学部過去問

投稿日：2023.04.26

＜関連動画＞

福田のわかった数学〜高校３年生理系014〜極限(14)級数と区分求積

単元： #関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数学

III

　極限(14)

lim_{n \to \infty} (\frac{1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2}}{1 + 2 + \dots + n} \times

\frac{1^{5} + 2^{5} + \dots + n^{5}}{1^{6} + 2^{6} + \dots + n^{6}})

を求めよ。　

この動画を見る　

大学入試問題#457「いかにしてサッパリ解くか！」　横浜国立大学(2001)　#定積分

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#横浜国立大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{1}^{2} \frac{d x}{x \sqrt{1 + x^{3}}}

出典：2001年横浜国立大学　入試問題

この動画を見る　

福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題068〜千葉大学2017年度理系第１１問〜部分和で定義された数列の極限

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#関数と極限#数列の極限#千葉大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

11

　数列

{a_{n}}

を次の条件によって定める。

a_{1} = 2

a_{n + 1} = 1 + \frac{1}{1 - \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{k}}}

(n=1,2,3,

\dots

)
(1)

a_{5}

を求めよ。
(2)

a_{n + 1}

を

a_{n}

の式で表せ。
(3) 無限級数

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{a_{k}}

が収束することを示し、その和を求めよ。

2017千葉大学理系過去問

この動画を見る　

これの説明できますか？

単元： #数列#漸化式#数列の極限#数学(高校生)#数B#数Ⅲ

指導講師：【楽しい授業動画】あきとんとん

問題文全文(内容文)：
1-1-+1-1-+1-1...
解説動画です

この動画を見る　

ハルハルさん作成問題　#極限の存在範囲

単元： #関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{(1 + \frac{a^{2}}{x}) (1 + \frac{a}{x}) (1 + \frac{b}{x})} - 1}{x^{b}} = \frac{b^{2}}{a} + 1

を満たす実数の組

(a, b)

を平面上に図示せよ

この動画を見る　

<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の数学〜早稲田大学2023年理工学部第３問〜逆関数とで囲まれる面積

＜関連動画＞

福田のわかった数学〜高校３年生理系014〜極限(14)級数と区分求積

大学入試問題#457「いかにしてサッパリ解くか！」 横浜国立大学(2001) #定積分

福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題068〜千葉大学2017年度理系第１１問〜部分和で定義された数列の極限

これの説明できますか？

ハルハルさん作成問題 #極限の存在範囲