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中学生の知識でオイラーの公式を理解しよう　VOL ６　e ネイピア数の正体

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$ \displaystyle \lim_{x \to a}\dfrac{x^3-a^3}{x^2-a^2}$を求めよ.

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$n=1,2,3,\cdots$に対し、$\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx$とおく。また、$\displaystyle I_0=\int_0^{\frac{\pi}{2}}1dx$とする。
(1) $(n+1)I_{n+1}=nI_{n-1}$を示せ。
(2) $nI_nI_{n-1}$を求めよ。
(3) $I_{n+1} < I_n$を示せ。
(4) 極限$\displaystyle \lim_{n \to\infty}nI_n^2$を求めよ。

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|$x$|＜1　のとき、$\displaystyle\lim_{n \to \infty}nx^n$=0　を示せ。

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$\frac{1}{1^4}$+$\frac{1}{2^4}$+$\frac{1}{3^4}$+$\frac{1}{4^4}$+$\cdots$$\frac{1}{n^4}$=$\frac{\pi^4}{90}$