問題文全文(内容文)：

$\boxed{4}$

$k$は実数とする。

曲線$C:y=(x^3-x+2)e^{-x}$と直線$y=k$との

共有点の偶数を$f(k)$で表す。次の問いに答えよ。

ただし、必要ならば自然数$n$に対し

$\displaystyle \lim_{x\to\infty} x^n e^{-x}=0$が成り立つことは

説明なしに用いてもよい。

(1)$k$が実数全体を動くとき、

$f(k)$の最大値の最小値を求めよ。

(2)$f(k)=2$を満たす$k$の値の範囲を求めよ。

(3)$\alpha$を正の実数とする。

曲線$C,x$軸,$y$軸,および直線$x=\alpha$で囲まれる

部分の面積を$\alpha$を用いて表せ。

$2025$年早稲田大学教育学部過去問題

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{4}}$ $e$を自然対数の底とする。$e$=2.718...である。
(1)0≦$x$≦1において不等式1+$x$≦$e^x$≦1+2$x$が成り立つことを示せ。
(2)$n$を自然数とするとき、0≦$x$≦1において不等式
$\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$≦$e^x$≦$\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}+\frac{x^n}{n!}$
が成り立つことを示せ。
(3)0≦$x$≦1を定義域とする関数$f(x)$を
$f(x)$=$\left\{\begin{array}{1}
1　(x=0)\\
\displaystyle\frac{e^x-1}{x}　(0＜x≦1)
\end{array}\right.$
と定義する。(2)の不等式を利用して、定積分$\displaystyle\int_0^1f(x)dx$　の近似値を小数第3位まで求め、求めた近似値と真の値との誤差が$10^{-3}$以下である理由を説明せよ。

問題文全文(内容文)：
長さlの線分が、その両端を放物線y=x^2にのせて動く。この線分の中点Mがx軸に最も近い場合のMの座標を求めよ。ただし、l≧1とする。

問題文全文(内容文)：
$z=\cos\theta+i\sin\theta$

（1）
$n$整数
$z^n=\cos n \theta + i \sin n \theta$を示せ

（2）
$z+\displaystyle \frac{1}{z}$を$\cos \theta$を用いて表せ

（3）
$\cos^6\theta$を$\cos2\theta,\cos4\theta,\cos6\theta$を用いて表せ

出典：2005年成城大学　過去問

問題文全文(内容文)：
次の等式を証明せよ。
（1）$4ab=(a+b)^2-(a-b)^2$
（2）$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$