軌跡と領域
軌跡と領域
次の不等式を同時に満たす整数の組（x，y）をすべて求めよ。x²+y²−2x+4y＜4， 2y−x+3≧0【図形と方程式｜軌跡と領域】
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#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#図形と方程式#中高教材
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の不等式を同時に満たす整数の組（x，y）をすべて求めよ。
x²+y²−2x+4y＜4， 2y−x+3≧0
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次の不等式を同時に満たす整数の組（x，y）をすべて求めよ。
x²+y²−2x+4y＜4， 2y−x+3≧0
x，y は実数とする。次のことを証明せよ。（1） x²+y²＜25 ならば 3x+4y＜25（2） x²+y²＜4 ならば x²+y²−8x+12＞0 他1問【図形と方程式｜軌跡と領域】
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#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#図形と方程式#中高教材
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$x$、$y$ は実数とする。次のことを証明せよ。
(1) $x^2+y^2<25$ ならば $3x+4y<25$
(2) $x^2+y^2<4$ ならば $x^2+y^2-8x+12>0$
(3) $x+y>\sqrt{2}$ ならば $x^2+y^2>1$
```
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$x$、$y$ は実数とする。次のことを証明せよ。
(1) $x^2+y^2<25$ ならば $3x+4y<25$
(2) $x^2+y^2<4$ ならば $x^2+y^2-8x+12>0$
(3) $x+y>\sqrt{2}$ ならば $x^2+y^2>1$
```
x，y が2つの不等式 x²+y²≦4，y≧0 を満たすとき，2x−y の最大値，最小値を求めよ。【図形と方程式｜軌跡と領域】
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#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#図形と方程式#中高教材
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問題文全文(内容文)：
x，y が2つの不等式 x²+y²≦4，y≧0 を満たすとき，2x−y の最大値，最小値を求めよ。
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x，y が2つの不等式 x²+y²≦4，y≧0 を満たすとき，2x−y の最大値，最小値を求めよ。
2種類の薬品P，Qがある。その1gについて，Aを12mg以上，Bを15mg以上とる必要があるとき，その費用を最小にするには，P，Qをそれぞれ何gとればよいか。【図形と方程式｜軌跡と領域】
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#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#図形と方程式#中高教材
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問題文全文(内容文)：
2種類の薬品P，Qがある。その1gについて，A成分，B成分の量と価格は，それぞれ右の表の通りである。
A成分 B成分 価格
P 2mg 1mg 4円
Q 1mg 2mg 6円
Aを12mg以上，Bを15mg以上とる必要があるとき，その費用を最小にするには，P，Qをそれぞれ何gとればよいか。
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2種類の薬品P，Qがある。その1gについて，A成分，B成分の量と価格は，それぞれ右の表の通りである。
A成分 B成分 価格
P 2mg 1mg 4円
Q 1mg 2mg 6円
Aを12mg以上，Bを15mg以上とる必要があるとき，その費用を最小にするには，P，Qをそれぞれ何gとればよいか。
（1） x，y が4つの不等式 x≧0，y≧0，2x+y≦5，x+3y≦6 を満たすとき，x+y の最大値および最小値を求めよ。他1問【図形と方程式｜軌跡と領域】
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#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#図形と方程式#中高教材
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問題文全文(内容文)：
（1） x，y が4つの不等式 x≧0，y≧0，2x+y≦5，x+3y≦6 を満たすとき，x+y の最大値および最小値を求めよ。
（2） x，y が3つの不等式 x+y≦6，2x+y≧6，x+2y≧4 を満たすとき，2x+3y の最大値および最小値を求めよ。
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（1） x，y が4つの不等式 x≧0，y≧0，2x+y≦5，x+3y≦6 を満たすとき，x+y の最大値および最小値を求めよ。
（2） x，y が3つの不等式 x+y≦6，2x+y≧6，x+2y≧4 を満たすとき，2x+3y の最大値および最小値を求めよ。
3頂点が A（2，0），B（−3，4），C（−3，−1）である三角形の内部および周上を表す連立不等式を求めよ。【図形と方程式｜軌跡と領域】
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#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#図形と方程式#中高教材
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問題文全文(内容文)：
3頂点が A（2，0），B（−3，4），C（−3，−1）である三角形の内部および周上を表す連立不等式を求めよ。
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3頂点が A（2，0），B（−3，4），C（−3，−1）である三角形の内部および周上を表す連立不等式を求めよ。
右の図の斜線部分は，どのような連立不等式の表す領域か。ただし，（1）は境界線を含まず，（2）は境界線を含むものとする。※図は動画内参照【図形と方程式｜軌跡と領域】
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#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#図形と方程式#中高教材
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問題文全文(内容文)：
右の図の斜線部分は，どのような連立不等式の表す領域か。ただし，（1）は境界線を含まず，（2）は境界線を含むものとする。
※図は動画内参照
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右の図の斜線部分は，どのような連立不等式の表す領域か。ただし，（1）は境界線を含まず，（2）は境界線を含むものとする。
※図は動画内参照
次の不等式，連立不等式の表す領域を図示せよ。（1） （3x−2y−2）（2x+3y+3）＜0 x−5y+8≧0（2） x²+y²≦4 （y−2x）（y+2x）＜0他【図形と方程式｜軌跡と領域】
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次の不等式，連立不等式の表す領域を図示せよ。
（1） （3x−2y−2）（2x+3y+3）＜0
x−5y+8≧0
（2） x²+y²≦4
（y−2x）（y+2x）＜0
（3） 1＜x²+y²≦9
（4） （x²−y）（1−x²−y²）≦0
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次の不等式，連立不等式の表す領域を図示せよ。
（1） （3x−2y−2）（2x+3y+3）＜0
x−5y+8≧0
（2） x²+y²≦4
（y−2x）（y+2x）＜0
（3） 1＜x²+y²≦9
（4） （x²−y）（1−x²−y²）≦0
承知しました。不等号も全角で表記します。次の不等式の表す領域を図示せよ。（1） y≦−x²+4（2） y＞−2x²+4x（3） y≦2x²−4x+3【図形と方程式｜軌跡と領域】
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次の不等式の表す領域を図示せよ。
（1） y≦−x²+4
（2） y＞−2x²+4x
（3） y≦2x²−4x+3
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次の不等式の表す領域を図示せよ。
（1） y≦−x²+4
（2） y＞−2x²+4x
（3） y≦2x²−4x+3
直線 y=2x+k が放物線 y=3x−x² と異なる2点P，Qで交わるとする。（1） 定数kの値の範囲を求めよ。また，線分PQの中点Mの座標をkで表せ。他1問【図形と方程式｜軌跡と領域】
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直線 y=2x+k が放物線 y=3x−x² と異なる2点P，Qで交わるとする。
（1） 定数kの値の範囲を求めよ。また，線分PQの中点Mの座標をkで表せ。
（2） kの値が変化するとき，線分PQの中点Mの軌跡を求めよ。
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直線 y=2x+k が放物線 y=3x−x² と異なる2点P，Qで交わるとする。
（1） 定数kの値の範囲を求めよ。また，線分PQの中点Mの座標をkで表せ。
（2） kの値が変化するとき，線分PQの中点Mの軌跡を求めよ。
m が実数全体を動くとき，放物線 y=x²−2mx+1 の頂点Pの軌跡を求めよ。【図形と方程式｜軌跡と領域】
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m が実数全体を動くとき，放物線 y=x²−2mx+1 の頂点Pの軌跡を求めよ。
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m が実数全体を動くとき，放物線 y=x²−2mx+1 の頂点Pの軌跡を求めよ。
t が実数全体を動くとき，次の点（x，y）はどのような図形上にあるか。（1） x=t+1，y=−3t+2（2） x=2t−1，y=t²−t+3【図形と方程式｜軌跡と領域】
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t が実数全体を動くとき，次の点（x，y）はどのような図形上にあるか。（1） x=t+1，y=−3t+2（2） x=2t−1，y=t²−t+3
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t が実数全体を動くとき，次の点（x，y）はどのような図形上にあるか。（1） x=t+1，y=−3t+2（2） x=2t−1，y=t²−t+3
次の直線の方程式を求めよ（1）2直線 3x+2y−5=0，2x−3y+4=0 のなす角の二等分線のうちで，傾きが正の直線（2）直線 y=2x に関して，直線 2x+3y=6【図形と方程式｜軌跡と領域】
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問題文全文(内容文)：
次の直線の方程式を，軌跡の考えを用いて求めよ。
（1） 2直線 3x+2y−5=0，2x−3y+4=0 のなす角の二等分線のうちで，傾きが正の直線
（2） 直線 y=2x に関して，直線 2x+3y=6 と対称な直線
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次の直線の方程式を，軌跡の考えを用いて求めよ。
（1） 2直線 3x+2y−5=0，2x−3y+4=0 のなす角の二等分線のうちで，傾きが正の直線
（2） 直線 y=2x に関して，直線 2x+3y=6 と対称な直線
1辺の長さが2である正方形ABCDがある。AP²+BP²+CP²+DP²=16 を満たす点Pの軌跡を求めよ。【図形と方程式｜軌跡と領域】
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1辺の長さが2である正方形ABCDがある。AP²+BP²+CP²+DP²=16 を満たす点Pの軌跡を求めよ。
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1辺の長さが2である正方形ABCDがある。AP²+BP²+CP²+DP²=16 を満たす点Pの軌跡を求めよ。
AB=2 である2定点A，Bに対して，条件 AP²−BP²=1 を満たす点Pの軌跡を求めよ。【図形と方程式｜軌跡と領域】
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#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#図形と方程式#中高教材
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AB=2 である2定点A，Bに対して，条件 AP²−BP²=1 を満たす点Pの軌跡を求めよ。
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AB=2 である2定点A，Bに対して，条件 AP²−BP²=1 を満たす点Pの軌跡を求めよ。
2点 A（−1，0），B（4，0）と点Pを頂点とする△PABが，PA：PB=1：4 を満たしながら変化するとき，点Pの軌跡を求めよ。【図形と方程式｜軌跡と領域】
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#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#図形と方程式#中高教材
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問題文全文(内容文)：
2点 A（−1，0），B（4，0）と点Pを頂点とする△PABが，PA：PB=1：4 を満たしながら変化するとき，点Pの軌跡を求めよ。
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2点 A（−1，0），B（4，0）と点Pを頂点とする△PABが，PA：PB=1：4 を満たしながら変化するとき，点Pの軌跡を求めよ。
点（0，−2）との距離と，直線 y=2 との距離が等しい点の軌跡を求めよ。【図形と方程式｜軌跡と領域】
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#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#図形と方程式#中高教材
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
点（0，−2）との距離と，直線 y=2 との距離が等しい点の軌跡を求めよ。
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点（0，−2）との距離と，直線 y=2 との距離が等しい点の軌跡を求めよ。
次のような点Pの軌跡を求めよ（1）点A（1，3）と直線 x−2y−1=0 上の点Qを結ぶ線分AQの中点P（2）点A（5，0）と円 （x+1）²+y²=16 上の点Qを…他【図形と方程式｜軌跡と領域】
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#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#図形と方程式#中高教材
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次のような点Pの軌跡を求めよ。
（1） 点A（1，3）と直線 x−2y−1=0 上の点Qを結ぶ線分AQの中点P
（2） 点A（5，0）と円 （x+1）²+y²=16 上の点Qを結ぶ線分AQの中点P
（3） 2点A（4，0），B（2，3）と円 x²+y²=1 上の点Qを頂点とする三角形の重心P
（4） 点A（2，−2）と放物線 y=x² 上の点Qを結ぶ線分AQを 1：2 に内分する点P
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次のような点Pの軌跡を求めよ。
（1） 点A（1，3）と直線 x−2y−1=0 上の点Qを結ぶ線分AQの中点P
（2） 点A（5，0）と円 （x+1）²+y²=16 上の点Qを結ぶ線分AQの中点P
（3） 2点A（4，0），B（2，3）と円 x²+y²=1 上の点Qを頂点とする三角形の重心P
（4） 点A（2，−2）と放物線 y=x² 上の点Qを結ぶ線分AQを 1：2 に内分する点P
福田の数学〜早稲田大学2025人間科学部第1問(3)〜球面が平面から切り取る領域の面積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(3)座標空間における$2$点
$\left(\dfrac{\sqrt{35}}{2},5,10\right),\left(-\dfrac{\sqrt{35}}{2},10,-4\right)$
を直径の両端とする球面$S$がある。
球面$S$が$xy$平面を切り取る領域の面積は
$\boxed{カ}\pi$である。
また、球面$S$が$z$軸を切り取る線分の長さは
$\sqrt{\boxed{キ}}$である。
$2025$年早稲田大学人間科学部過去問題
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$\boxed{1}$
(3)座標空間における$2$点
$\left(\dfrac{\sqrt{35}}{2},5,10\right),\left(-\dfrac{\sqrt{35}}{2},10,-4\right)$
を直径の両端とする球面$S$がある。
球面$S$が$xy$平面を切り取る領域の面積は
$\boxed{カ}\pi$である。
また、球面$S$が$z$軸を切り取る線分の長さは
$\sqrt{\boxed{キ}}$である。
$2025$年早稲田大学人間科学部過去問題
福田のおもしろ数学543〜2つの球面に引いた接線の長さの等しい点の軌跡
福田の数学〜慶應義塾大学2025経済学部第1問(2)〜2変数の不等式と領域
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(2)不等式
$\vert m+n-6 \vert + \vert m-n-2 \vert \leqq 6 \cdots ①$
を満たす整数$m,n$を考える。
$(m+n-6)(m-n-2)\geqq 0$のとき、$m$と$n$が
不等式①を満たすための必要十分条件は
$\boxed{セ} \leqq m \leqq \boxed{ソ}$
である。
同様に、$(m+n-6)(m-n-2)\leqq 0$のとき、
$m$と$n$が①を満たすための必要十分条件は
$\boxed{タチ}\leqq n \leqq \boxed{ツ}$
である。よって、$m$と$n$が①を満たすとき、
$(m-n)(m+n-6)$の最大値は、
$(m-n)(m+n-6)=(m-\boxed{テ})^2-(n-\boxed{ト})^2$
より$\boxed{ナニ}$である。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
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$\boxed{1}$
(2)不等式
$\vert m+n-6 \vert + \vert m-n-2 \vert \leqq 6 \cdots ①$
を満たす整数$m,n$を考える。
$(m+n-6)(m-n-2)\geqq 0$のとき、$m$と$n$が
不等式①を満たすための必要十分条件は
$\boxed{セ} \leqq m \leqq \boxed{ソ}$
である。
同様に、$(m+n-6)(m-n-2)\leqq 0$のとき、
$m$と$n$が①を満たすための必要十分条件は
$\boxed{タチ}\leqq n \leqq \boxed{ツ}$
である。よって、$m$と$n$が①を満たすとき、
$(m-n)(m+n-6)$の最大値は、
$(m-n)(m+n-6)=(m-\boxed{テ})^2-(n-\boxed{ト})^2$
より$\boxed{ナニ}$である。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
福田の数学〜一橋大学2025文系第4問〜ベクトル方程式と領域と角を2等分するベクトル
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#図形と方程式#軌跡と領域#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
原点を$O$とする座標空間内の
$2$点$A(0,3,-5),B(5,-2,10)$に対して
$\overrightarrow{OP}=s\left \{ (1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB} \right \},x\geqq 0,\dfrac{1}{5} \leqq t \leqq \dfrac{3}{5}$
で定まる点$P$が存在する範囲を$D$とする。
$D$に含まれる半径$10\sqrt2$の円のうち、
その中心と原点との距離が最小となるものを
$C$とする。
円$C$の中心の座標を求めよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
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$\boxed{4}$
原点を$O$とする座標空間内の
$2$点$A(0,3,-5),B(5,-2,10)$に対して
$\overrightarrow{OP}=s\left \{ (1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB} \right \},x\geqq 0,\dfrac{1}{5} \leqq t \leqq \dfrac{3}{5}$
で定まる点$P$が存在する範囲を$D$とする。
$D$に含まれる半径$10\sqrt2$の円のうち、
その中心と原点との距離が最小となるものを
$C$とする。
円$C$の中心の座標を求めよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
福田の数学〜一橋大学2025文系第2問〜円と円の交点を通る直線に対称な点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
座標平面上に原点を中心とす半径$3$の円$C_1$がある。
また、直線$x=2$上の点$P$を中心とする半径$1$の円を
$C_2$とする。
(1)$C_1$と$C_2$が共有点を$2$つ持つような$P$の
$y$座標の範囲を求めよ。
(2)$C_1$と$C_2$が共有点を$2$つ持つとき、
その$2$つの共有点を通る直線を$\ell$とする。
$\ell$に関して$P$と対称な位置にある点を$Q$とする。
ただし、$P$が$\ell$上にあるときは$Q=P$とする。
$P$の$y$座標が(1)で求めた範囲を動くとき、
点$Q$の軌跡を求め、図示せよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
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$\boxed{2}$
座標平面上に原点を中心とす半径$3$の円$C_1$がある。
また、直線$x=2$上の点$P$を中心とする半径$1$の円を
$C_2$とする。
(1)$C_1$と$C_2$が共有点を$2$つ持つような$P$の
$y$座標の範囲を求めよ。
(2)$C_1$と$C_2$が共有点を$2$つ持つとき、
その$2$つの共有点を通る直線を$\ell$とする。
$\ell$に関して$P$と対称な位置にある点を$Q$とする。
ただし、$P$が$\ell$上にあるときは$Q=P$とする。
$P$の$y$座標が(1)で求めた範囲を動くとき、
点$Q$の軌跡を求め、図示せよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
福田の数学〜早稲田大学理工学部2025第2問〜領域に含まれる三角形の面積の最大値
単元：
#数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#数と式#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
$xy$平面上で、
連立不等式
$0\lt x \leqq 1,0\leqq y \leqq \log\dfrac{1}{x}$
で定まる領域と$y$軸の
$y\geqq 0$の部分を合わせた図形を$D$とする。
$D$に含まれる三角形の最大値を求めよ。
$2025$年早稲田大学理工学部過去問題
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$\boxed{2}$
$xy$平面上で、
連立不等式
$0\lt x \leqq 1,0\leqq y \leqq \log\dfrac{1}{x}$
で定まる領域と$y$軸の
$y\geqq 0$の部分を合わせた図形を$D$とする。
$D$に含まれる三角形の最大値を求めよ。
$2025$年早稲田大学理工学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学理工学部2025第1問(1)〜複素数平面上の点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形と方程式#軌跡と領域#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(1)複素数平面上で、方程式
$\vert z+i \vert = 2 \vert z-\sqrt3 \vert$
を満たす点$z$全体が表す図形は、
中心が$\boxed{ア}$,半径が$\boxed{イ}$である。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題
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$\boxed{1}$
(1)複素数平面上で、方程式
$\vert z+i \vert = 2 \vert z-\sqrt3 \vert$
を満たす点$z$全体が表す図形は、
中心が$\boxed{ア}$,半径が$\boxed{イ}$である。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題
福田の数学〜東北大学2025理系第5問〜球面上の点と軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
$S$を$xyz$空間内の原点$O(0,0,0)$を中心とする
半径$1$の球面とする。
また、点$P(a,b,c)$を
点$(0,0,1)$とは異なる球面$S$上の点とする。
点$P$と点$N$を通る直線$\ell$と$xy$平面との
交点を$Q$とおく。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)点$Q$の座標を$a,b,c$を用いて表せ。
(2)$xy$平面上の点$(p,q,0)$と点$N$を通る直線を
$m$とする。
直線$m$と球面$S$の交点のうち、
点$N$以外の交点の座標を$p,q$を用いて表せ。
(3)点$\left(0,0,\dfrac{1}{2}\right)$を通り、
ベクトル$(3,4,5)$に直交する
平面$\alpha$を考える。
点$P$が平面$\alpha$ト球面$S$との交わりを動くとき、
点$Q$は$xy$平面上の円周上を動くことを示せ。
$2025$年東北大学理系過去問題
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$\boxed{5}$
$S$を$xyz$空間内の原点$O(0,0,0)$を中心とする
半径$1$の球面とする。
また、点$P(a,b,c)$を
点$(0,0,1)$とは異なる球面$S$上の点とする。
点$P$と点$N$を通る直線$\ell$と$xy$平面との
交点を$Q$とおく。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)点$Q$の座標を$a,b,c$を用いて表せ。
(2)$xy$平面上の点$(p,q,0)$と点$N$を通る直線を
$m$とする。
直線$m$と球面$S$の交点のうち、
点$N$以外の交点の座標を$p,q$を用いて表せ。
(3)点$\left(0,0,\dfrac{1}{2}\right)$を通り、
ベクトル$(3,4,5)$に直交する
平面$\alpha$を考える。
点$P$が平面$\alpha$ト球面$S$との交わりを動くとき、
点$Q$は$xy$平面上の円周上を動くことを示せ。
$2025$年東北大学理系過去問題
福田のおもしろ数学450〜2円の共有点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$2$円$C_1 : x^2+y^2=4a^2$
$C_2:(x-3)^2:y^2+a^2 \quad (a\gt 0)$
の共有点の軌跡を求めよ。
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$2$円$C_1 : x^2+y^2=4a^2$
$C_2:(x-3)^2:y^2+a^2 \quad (a\gt 0)$
の共有点の軌跡を求めよ。
福田の数学〜北海道大学2025理系第4問〜複素数平面上の点の軌跡と2円が共有点をもつ条件
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形と方程式#軌跡と領域#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$a$を正の実数とする。
(1)$a$が$1$でないとき、複素数$z$についての方程式
$a \vert z-1 \vert = \vert (a-2)z +a \vert$
を考える。
この方程式を満たす$z$全体の集合を
複素数平面上に図示せよ。
$2025$年北海道大学理系過去問題
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$\boxed{4}$
$a$を正の実数とする。
(1)$a$が$1$でないとき、複素数$z$についての方程式
$a \vert z-1 \vert = \vert (a-2)z +a \vert$
を考える。
この方程式を満たす$z$全体の集合を
複素数平面上に図示せよ。
$2025$年北海道大学理系過去問題
福田の数学〜東京大学2025文系第4問〜放物線で囲まれた面積の最大値
単元：
#連立方程式#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$a$は実数とする。
座標平面において、次の連立不等式の表す領域の
面積を$S(a)$とする。
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
y \leqq -\dfrac{1}{2}x^2+2 \\
y \geqq \vert x^2+a \vert \\\
-1 \leqq x \leqq 1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
$a$が$ 2\leqq a \leqq 2$の範囲を動くとき、
$S(a)$の最大値を求めよ。
$2025$年東京大学文系過去問
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$\boxed{4}$
$a$は実数とする。
座標平面において、次の連立不等式の表す領域の
面積を$S(a)$とする。
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
y \leqq -\dfrac{1}{2}x^2+2 \\
y \geqq \vert x^2+a \vert \\\
-1 \leqq x \leqq 1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
$a$が$ 2\leqq a \leqq 2$の範囲を動くとき、
$S(a)$の最大値を求めよ。
$2025$年東京大学文系過去問
福田の数学〜東京大学2025文系第2問〜三角形の3頂点を中心とする3つの円で3辺を含む条件と三角形を含む条件
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
平面上で$AB=AC=1$である
二等辺三角形$ABC$を考える。
正の実数$r$に対し、$A,B,C$それぞれを中心とする
半径$r$の円$3$つを合わせた領域を$D_r$とする。
ただし、この問いでは、
三角形と円は周とその内部からなるものとする。
辺$AB,AC,BC$がすべて$D_r$に
含まれるような最小の$r$を$s$、
三角形$ABC$が
$D_r$に含まれるような最小の$r$を$t$と表す。
(1)$\angle BAC=\dfrac{\pi}{3}$のとき、$s$と$t$を求めよ。
(2)$\angle BAC=\dfrac{2\pi}{3}$のとき、$s$と$t$を求めよ。
(3)$0\lt \theta \lt \pi$を満たす$\theta$に対して、
$\angle BAC=\theta$のとき、$s$と$t$を$\theta$を用いて表せ。
$2025$年東京大学文系過去問題
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$\boxed{2}$
平面上で$AB=AC=1$である
二等辺三角形$ABC$を考える。
正の実数$r$に対し、$A,B,C$それぞれを中心とする
半径$r$の円$3$つを合わせた領域を$D_r$とする。
ただし、この問いでは、
三角形と円は周とその内部からなるものとする。
辺$AB,AC,BC$がすべて$D_r$に
含まれるような最小の$r$を$s$、
三角形$ABC$が
$D_r$に含まれるような最小の$r$を$t$と表す。
(1)$\angle BAC=\dfrac{\pi}{3}$のとき、$s$と$t$を求めよ。
(2)$\angle BAC=\dfrac{2\pi}{3}$のとき、$s$と$t$を求めよ。
(3)$0\lt \theta \lt \pi$を満たす$\theta$に対して、
$\angle BAC=\theta$のとき、$s$と$t$を$\theta$を用いて表せ。
$2025$年東京大学文系過去問題