大学入試問題#441「見た目と違って解いてみたら、良問と実感するはず！」信州大学(2022) #不等式

大学入試問題#441「見た目と違って解いてみたら、良問と実感するはず！」　信州大学(2022)　#不等式

問題文全文(内容文)：

n

：自然数

0 ≦ x

：実数

l o g (1 + x) ≧ \sum_{k = 1}^{2 n} \frac{(- 1)^{k - 1}}{k} x^{k}

を示せ

出典：2022年信州大学　入試問題

チャプター：

00:00 イントロ（問題紹介）
00:23 本編スタート
05:15 作成した解答①
05:26 作成した解答②
05:38 エンディング（楽曲提供：兄いえてぃさん）

単元： #大学入試過去問(数学)#微分とその応用#色々な関数の導関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#信州大学#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

n

：自然数

0 ≦ x

：実数

l o g (1 + x) ≧ \sum_{k = 1}^{2 n} \frac{(- 1)^{k - 1}}{k} x^{k}

を示せ

出典：2022年信州大学　入試問題

投稿日：2023.02.02

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

　Oを原点とする座標平面上の曲線

y = \log x

を

C

とする。正の実数

t

に対し、
曲線C上の点

P (t, \log t)

におけるCの法線Lの傾きは

か

である。Lに平行な
単位ベクトル

\vec{n}

で、その

x

成分が正であるものは

\vec{n} = (き, く)

である。
さらに、

r

を正の定数とし、点Qを

\vec{O Q} = \vec{O P} + r \vec{n}

により定めると、
Qの座標は

(け, こ)

となる。ここで点Qのx座標とy座標をtの関数と見て、
それぞれ

X (t), Y (t)

とおくと

X (t), Y (t)

の導関数を成分とするベクトル

(X^{'} (t), Y^{'} (t))

はrによらないベクトル

(1, さ)

と平行であるか、零ベクトルである。
定数

r

の取り方によって関数

X (t)

の増減の様子は変わる。

X (t)

が区間

t > 0

で
常に増加するようなrの値の範囲は

し

である。また、

r = 2 \sqrt{2}

のとき、

X (t)

は
区間

す ≦ t ≦ せ

で減少し、区間

0 < t ≦ す

と区間

t ≧ せ

で増加する。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
実数xに対し、関数f(x)を

f (x) = x e^{- x}

により定める。座標平面上の曲線

C : y = f (x)

に関して、次の問(1)~(5)に答えよ。
(1)f(x)の導関数

f^{'} (x)

を求め、

f (x)

の増減表を書け。ただし、極値も記入すること。
(2)f(x)の第2次導関数

f^{″} (x)

を求め、Cの変曲点の座標を求めよ。
(3)Cの変曲点と、座標平面上の原点を通る直線を

l

とする。
Cとlで囲まれた領域の面積Sを求めよ。
(4)

a, b, c

を定数とし、関数

g (x)

を

g (x) = (a x^{2} + b x + c) e^{- 2 x}

と定める。

g (x)

の導関数

g^{'} (x)

が

g^{'} (x) = x^{2} e^{- 2 x}

を満たすとき、

a, b, c

の値を求めよ。
(5)Cと(3)で定めたlで囲まれた領域を、x軸の周りに1回転してできる
回転体の体積Vを求めよ。

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問題文全文(内容文)：

1

(1)

n

を2以上の整数とする。整数

k

\in

{1, 2, . . ., n}

に対し、

y

軸に平行な直線

x

2^{k - 1}

と曲線

y

\log_{2} x

の交点を

P_{k}

とする。このとき、線分

P_{1} P_{2}

P_{2} P_{3}

, ...,

P_{n - 1} P_{n}

と直線

x

2^{n - 1}

および

x

軸で囲まれる図形の面積を

S (n)

とする。不等式

\frac{S (n)}{2^{n}}

≧2023
を満たす最小の

n

は

ア

である。

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問題文全文(内容文)：
以下の問いに答えよ。
(1)

x > 0

において、不等式

\log x < x

を示せ。
(2)

1 < a < b

のとき、不等式

\frac{1}{\log a} - \frac{1}{\log b} < \frac{b - a}{a (\log a)^{2}}

を示せ。
(3)

x ≧ e

において、不等式

\int_{e}^{x} \frac{d t}{t \log (t + 1)} ≧ \log (\log x) + \frac{1}{2 (\log x)^{2}} - \frac{1}{2}

を示せ。ただし、eは自然対数の底である。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

y = x^{3} - x

により定まる座標平面上の曲線をCとする。
C上の点P

(α, α^{3} - α)

を通り、
点PにおけるCの接線と垂直に交わる直線をlとする。Cとlは相異なる3点で交わるとする。
(1)

α

のとりうる値の範囲を求めよ。
(2)Cとlの点P以外の2つの交点のx座標を

β, γ

とする。ただし

β < γ

とする。

β^{2} + β γ + γ^{2} - 1 \neq 0

　となることを示せ。
(3)(2)の

β, γ

を用いて、

u = 4 α^{3} + \frac{1}{β^{2} + β γ + γ^{2} - 1}

と定める。このとき、uの取りうる値の範囲を求めよ。

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 大学入試問題#441「見た目と違って解いてみたら、良問と実感するはず！」 信州大学(2022) #不等式

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