10神奈川県教員採用試験（数学：10番複素数） - 質問解決D.B.（データベース）

10神奈川県教員採用試験（数学：10番　複素数）

問題文全文(内容文)：

10

z = c o s θ + i s i n θ

0 < θ ≦ π

w = \frac{1 - z^{3}}{1 - z}

| w | = 1

のときθの値を求めよ。

単元： #複素数平面#複素数平面#その他#数学(高校生)#数C#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

10

z = c o s θ + i s i n θ

0 < θ ≦ π

w = \frac{1 - z^{3}}{1 - z}

| w | = 1

のときθの値を求めよ。

投稿日：2020.11.06

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
(2)iを虚数単位とし、

z_{1} = \frac{(\sqrt{3} + i)^{17}}{(1 + i)^{19} (1 - \sqrt{3} i)^{7}}, z_{2} = - 1 + i

とする。

z_{1}

の偏角

θ

のうち、

0 ≦ θ < 2 π

を満たすものは

θ = オ

であり、

| z_{1} | = カ

である。
複素数平面上で

z_{1}, z_{2}

を表す点をそれぞれA,Bとする。このとき線分ABを
1辺とする正三角形ABCの、頂点Cを表す複素数の実部は0または

キ

である。
a,bを正の整数とし、複素数

\frac{(\sqrt{3} + i)^{7}}{(1 + i)^{a} (1 - \sqrt{3} i)^{b}}

の偏角の一つが

\frac{π}{12}

であるとき、
a+bの最小値は

ク

である。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

以下の問いに答えよ。
(1)|z| ≦ |z-(

\sqrt{3} + i

)|, |z-

\bar{z}

| ≦ 1および|z-

2 i

| ≦ 2を同時にみたす複素数zに対応する点の領域を複素数平面上に図示せよ。
(2)(1)で得られた領域内の点に対応する複素数のうち、実部が最大となるものを

α

、実部と虚部の和が最大となるものを

β

とするとき、

α

と

β

を求めよ。
(3)次の式で定義される

w_{n}

の実部を

R_{n}

とするとき、無限級数

\sum_{n = 1}^{\infty} R_{n}

の和を求めよ。

w_{n} = \frac{{1 + (2 - \sqrt{3}) i} (\sqrt{3} + i)^{3 (n - 1)}}{2^{4 (n - 1)}}

(n = 1, 2, 3, \dots)

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

z + \frac{1}{z} = - 1

　のとき　

z^{100} + \frac{1}{z^{100}}

　の値を求めよ。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

実数係数の4次方程式

x^{4}

- p x^{3}

+ q x^{2}

- r x

+ s

=0 は相異なる複素数

α

\bar{α}

β

\bar{β}

を解に持ち、点1を中心とする半径1の円周上にあるとする。ただし、

\bar{α}

\bar{β}

はそれぞれ

α

β

と共役な複素数を表す。
(1)

α

\bar{α}

α

\bar{α}

を示せ。
(2)

t

α

\bar{α}

u

β

\bar{β}

とおく。p, q, r, sをそれぞれtとuで表せ。
(3)座標平面において、点(p, s)のとりうる範囲を図示せよ。

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指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
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絶対値が1の虚根をもつ。
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