問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} 放物線C:y=x^2上の点(a,\ a^2) (a \gt 0)における法線lの方程式をy=f(x)\\
とおくと、f(x)=\boxed{\ \ ア\ \ }となる。またCとlの交点のうちPと異なる方の点Qを\\
求めると、Q(\boxed{\ \ イ\ \ },\ \boxed{\ \ イ\ \ }^2)となる。以下、Cとlで囲まれた部分をDとし、\\
Dをlの周りに1回転して得られる回転体の体積V(a)を求める。Dに含まれるl上\\
の点をR(t,\ f(t)) (\boxed{\ \ イ\ \ } \leqq t \leqq a)とおく。Rを通りlに垂直な直線は\\
y=2a(x-t)+f(t)で与えられる。この直線とy=x^2の2つの交点のうち\\
Dに含まれる方の点Sのx座標はx=a-\boxed{\ \ ウ\ \ }\sqrt{a-t}\ となる。このとき\\
線分RSの長さr=g(t)はg(t)=\boxed{\ \ エ\ \ }(t-a+\boxed{\ \ ウ\ \ }\sqrt{a-t})となる。\\
線分QRの長さs=h(t)はh(t)=\boxed{\ \ オ\ \ }(t-\boxed{\ \ イ\ \ })で与えられるので、\\
V(a)=\pi\int_0^{h(a)}r^2ds=\pi\int_{\boxed{イ}}^a\left\{g(t)\right\}^2h'(t)dt\\
=\pi\left\{(\boxed{\ \ エ\ \ })^2×\boxed{\ \ オ\ \ }\right\}\int_{\boxed{イ}}^a(a-t)(-\sqrt{a-t}+\boxed{\ \ ウ\ \ })^2dt\\
となる。ここでu=\sqrt{a-t}とおいて置換積分を行えば\\
V(a)=2\pi\left\{(\boxed{\ \ エ\ \ })^2×\boxed{\ \ オ\ \ }\right\}\int_0^{\boxed{ウ}}\left\{u^5-2\boxed{\ \ ウ\ \ }u^4+(\boxed{\ \ ウ\ \ })^2u^3\right\}du=\boxed{\ \ カ\ \ }\\
が求まる。さらに、a \gt 0の範囲でaを動かすとき、\lim_{a \to +0}V(a)=\lim_{a \to \infty}V(a)=\infty\\
であり、V(a)を最小にするaの値はa=\boxed{\ \ キ\ \ }である。\\
\\
\\
\boxed{\ \ ア\ \ }\ の解答群\\
ⓐ-\frac{2}{a}(x-a)+a^2 ⓑ-\frac{1}{a}(x-a)+a^2 ⓒ-\frac{1}{2a}(x-a)+a^2 ⓓ-2a(x-a)+a^2\\
\\
\\
\boxed{\ \ イ\ \ }～\ \boxed{\ \ オ\ \ }\ の解答群\\
ⓐ-\frac{a^2-1}{a} ⓑ-\frac{2a^2-1}{2a} ⓒ-\frac{a^2+1}{a} ⓓ-\frac{2a^2+1}{2a}\\
ⓔ\frac{\sqrt{a^2+4}}{2} ⓕ\sqrt{a^2+1} ⓖ\sqrt{4a^2+1} ⓗ2a\\
ⓘ\frac{\sqrt{4a^2+1}}{2a} ⓙ\frac{\sqrt{a^2+4}}{a} ⓚ\frac{\sqrt{a^2+1}}{a} ⓛ\frac{\sqrt{a^2+1}}{2a}\\
ⓜ\sqrt{\frac{2a^2+1}{2a}} ⓝ\sqrt{\frac{4a^2+1}{2a}} ⓞ\sqrt{\frac{2a^2+1}{a}} ⓟ\sqrt{\frac{4a^2+1}{a}}\\
\\
\\
\boxed{\ \ カ\ \ }\ の解答群\\
ⓐ\frac{(2a^2+1)^3(a^2+1)^{\frac{3}{2}}}{60a^4}\ \pi ⓑ\frac{(2a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{120a^4}\ \pi ⓒ\frac{(2a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{60a^4}\ \pi\\
ⓓ\frac{(2a^2+1)^3(4a^2+1)^{\frac{3}{2}}}{60a^4}\ \pi ⓔ\frac{(4a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{480a^4}\ \pi ⓕ\frac{(4a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{60a^4}\ \pi\\
ⓖ\frac{(a^2+1)^2(4a^2+1)^2}{120a^{\frac{7}{2}}}\ \pi ⓗ\frac{(4a^2+1)^4}{480\sqrt2a^{\frac{7}{2}}}\ \pi ⓘ\frac{(4a^2+1)^4}{120\sqrt2a^{\frac{7}{2}}}\ \pi\\
\\
\\
\boxed{\ \ キ\ \ }\ の解答群\\
ⓐ\frac{1}{\sqrt5} ⓑ\frac{1}{\sqrt2} ⓒ1 ⓓ\sqrt2 ⓔ\frac{2}{\sqrt5} ⓕ4
\end{eqnarray}
2021中央大学理工学部過去問
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} 放物線C:y=x^2上の点(a,\ a^2) (a \gt 0)における法線lの方程式をy=f(x)\\
とおくと、f(x)=\boxed{\ \ ア\ \ }となる。またCとlの交点のうちPと異なる方の点Qを\\
求めると、Q(\boxed{\ \ イ\ \ },\ \boxed{\ \ イ\ \ }^2)となる。以下、Cとlで囲まれた部分をDとし、\\
Dをlの周りに1回転して得られる回転体の体積V(a)を求める。Dに含まれるl上\\
の点をR(t,\ f(t)) (\boxed{\ \ イ\ \ } \leqq t \leqq a)とおく。Rを通りlに垂直な直線は\\
y=2a(x-t)+f(t)で与えられる。この直線とy=x^2の2つの交点のうち\\
Dに含まれる方の点Sのx座標はx=a-\boxed{\ \ ウ\ \ }\sqrt{a-t}\ となる。このとき\\
線分RSの長さr=g(t)はg(t)=\boxed{\ \ エ\ \ }(t-a+\boxed{\ \ ウ\ \ }\sqrt{a-t})となる。\\
線分QRの長さs=h(t)はh(t)=\boxed{\ \ オ\ \ }(t-\boxed{\ \ イ\ \ })で与えられるので、\\
V(a)=\pi\int_0^{h(a)}r^2ds=\pi\int_{\boxed{イ}}^a\left\{g(t)\right\}^2h'(t)dt\\
=\pi\left\{(\boxed{\ \ エ\ \ })^2×\boxed{\ \ オ\ \ }\right\}\int_{\boxed{イ}}^a(a-t)(-\sqrt{a-t}+\boxed{\ \ ウ\ \ })^2dt\\
となる。ここでu=\sqrt{a-t}とおいて置換積分を行えば\\
V(a)=2\pi\left\{(\boxed{\ \ エ\ \ })^2×\boxed{\ \ オ\ \ }\right\}\int_0^{\boxed{ウ}}\left\{u^5-2\boxed{\ \ ウ\ \ }u^4+(\boxed{\ \ ウ\ \ })^2u^3\right\}du=\boxed{\ \ カ\ \ }\\
が求まる。さらに、a \gt 0の範囲でaを動かすとき、\lim_{a \to +0}V(a)=\lim_{a \to \infty}V(a)=\infty\\
であり、V(a)を最小にするaの値はa=\boxed{\ \ キ\ \ }である。\\
\\
\\
\boxed{\ \ ア\ \ }\ の解答群\\
ⓐ-\frac{2}{a}(x-a)+a^2 ⓑ-\frac{1}{a}(x-a)+a^2 ⓒ-\frac{1}{2a}(x-a)+a^2 ⓓ-2a(x-a)+a^2\\
\\
\\
\boxed{\ \ イ\ \ }～\ \boxed{\ \ オ\ \ }\ の解答群\\
ⓐ-\frac{a^2-1}{a} ⓑ-\frac{2a^2-1}{2a} ⓒ-\frac{a^2+1}{a} ⓓ-\frac{2a^2+1}{2a}\\
ⓔ\frac{\sqrt{a^2+4}}{2} ⓕ\sqrt{a^2+1} ⓖ\sqrt{4a^2+1} ⓗ2a\\
ⓘ\frac{\sqrt{4a^2+1}}{2a} ⓙ\frac{\sqrt{a^2+4}}{a} ⓚ\frac{\sqrt{a^2+1}}{a} ⓛ\frac{\sqrt{a^2+1}}{2a}\\
ⓜ\sqrt{\frac{2a^2+1}{2a}} ⓝ\sqrt{\frac{4a^2+1}{2a}} ⓞ\sqrt{\frac{2a^2+1}{a}} ⓟ\sqrt{\frac{4a^2+1}{a}}\\
\\
\\
\boxed{\ \ カ\ \ }\ の解答群\\
ⓐ\frac{(2a^2+1)^3(a^2+1)^{\frac{3}{2}}}{60a^4}\ \pi ⓑ\frac{(2a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{120a^4}\ \pi ⓒ\frac{(2a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{60a^4}\ \pi\\
ⓓ\frac{(2a^2+1)^3(4a^2+1)^{\frac{3}{2}}}{60a^4}\ \pi ⓔ\frac{(4a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{480a^4}\ \pi ⓕ\frac{(4a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{60a^4}\ \pi\\
ⓖ\frac{(a^2+1)^2(4a^2+1)^2}{120a^{\frac{7}{2}}}\ \pi ⓗ\frac{(4a^2+1)^4}{480\sqrt2a^{\frac{7}{2}}}\ \pi ⓘ\frac{(4a^2+1)^4}{120\sqrt2a^{\frac{7}{2}}}\ \pi\\
\\
\\
\boxed{\ \ キ\ \ }\ の解答群\\
ⓐ\frac{1}{\sqrt5} ⓑ\frac{1}{\sqrt2} ⓒ1 ⓓ\sqrt2 ⓔ\frac{2}{\sqrt5} ⓕ4
\end{eqnarray}
2021中央大学理工学部過去問
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#面積、体積#中央大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} 放物線C:y=x^2上の点(a,\ a^2) (a \gt 0)における法線lの方程式をy=f(x)\\
とおくと、f(x)=\boxed{\ \ ア\ \ }となる。またCとlの交点のうちPと異なる方の点Qを\\
求めると、Q(\boxed{\ \ イ\ \ },\ \boxed{\ \ イ\ \ }^2)となる。以下、Cとlで囲まれた部分をDとし、\\
Dをlの周りに1回転して得られる回転体の体積V(a)を求める。Dに含まれるl上\\
の点をR(t,\ f(t)) (\boxed{\ \ イ\ \ } \leqq t \leqq a)とおく。Rを通りlに垂直な直線は\\
y=2a(x-t)+f(t)で与えられる。この直線とy=x^2の2つの交点のうち\\
Dに含まれる方の点Sのx座標はx=a-\boxed{\ \ ウ\ \ }\sqrt{a-t}\ となる。このとき\\
線分RSの長さr=g(t)はg(t)=\boxed{\ \ エ\ \ }(t-a+\boxed{\ \ ウ\ \ }\sqrt{a-t})となる。\\
線分QRの長さs=h(t)はh(t)=\boxed{\ \ オ\ \ }(t-\boxed{\ \ イ\ \ })で与えられるので、\\
V(a)=\pi\int_0^{h(a)}r^2ds=\pi\int_{\boxed{イ}}^a\left\{g(t)\right\}^2h'(t)dt\\
=\pi\left\{(\boxed{\ \ エ\ \ })^2×\boxed{\ \ オ\ \ }\right\}\int_{\boxed{イ}}^a(a-t)(-\sqrt{a-t}+\boxed{\ \ ウ\ \ })^2dt\\
となる。ここでu=\sqrt{a-t}とおいて置換積分を行えば\\
V(a)=2\pi\left\{(\boxed{\ \ エ\ \ })^2×\boxed{\ \ オ\ \ }\right\}\int_0^{\boxed{ウ}}\left\{u^5-2\boxed{\ \ ウ\ \ }u^4+(\boxed{\ \ ウ\ \ })^2u^3\right\}du=\boxed{\ \ カ\ \ }\\
が求まる。さらに、a \gt 0の範囲でaを動かすとき、\lim_{a \to +0}V(a)=\lim_{a \to \infty}V(a)=\infty\\
であり、V(a)を最小にするaの値はa=\boxed{\ \ キ\ \ }である。\\
\\
\\
\boxed{\ \ ア\ \ }\ の解答群\\
ⓐ-\frac{2}{a}(x-a)+a^2 ⓑ-\frac{1}{a}(x-a)+a^2 ⓒ-\frac{1}{2a}(x-a)+a^2 ⓓ-2a(x-a)+a^2\\
\\
\\
\boxed{\ \ イ\ \ }～\ \boxed{\ \ オ\ \ }\ の解答群\\
ⓐ-\frac{a^2-1}{a} ⓑ-\frac{2a^2-1}{2a} ⓒ-\frac{a^2+1}{a} ⓓ-\frac{2a^2+1}{2a}\\
ⓔ\frac{\sqrt{a^2+4}}{2} ⓕ\sqrt{a^2+1} ⓖ\sqrt{4a^2+1} ⓗ2a\\
ⓘ\frac{\sqrt{4a^2+1}}{2a} ⓙ\frac{\sqrt{a^2+4}}{a} ⓚ\frac{\sqrt{a^2+1}}{a} ⓛ\frac{\sqrt{a^2+1}}{2a}\\
ⓜ\sqrt{\frac{2a^2+1}{2a}} ⓝ\sqrt{\frac{4a^2+1}{2a}} ⓞ\sqrt{\frac{2a^2+1}{a}} ⓟ\sqrt{\frac{4a^2+1}{a}}\\
\\
\\
\boxed{\ \ カ\ \ }\ の解答群\\
ⓐ\frac{(2a^2+1)^3(a^2+1)^{\frac{3}{2}}}{60a^4}\ \pi ⓑ\frac{(2a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{120a^4}\ \pi ⓒ\frac{(2a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{60a^4}\ \pi\\
ⓓ\frac{(2a^2+1)^3(4a^2+1)^{\frac{3}{2}}}{60a^4}\ \pi ⓔ\frac{(4a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{480a^4}\ \pi ⓕ\frac{(4a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{60a^4}\ \pi\\
ⓖ\frac{(a^2+1)^2(4a^2+1)^2}{120a^{\frac{7}{2}}}\ \pi ⓗ\frac{(4a^2+1)^4}{480\sqrt2a^{\frac{7}{2}}}\ \pi ⓘ\frac{(4a^2+1)^4}{120\sqrt2a^{\frac{7}{2}}}\ \pi\\
\\
\\
\boxed{\ \ キ\ \ }\ の解答群\\
ⓐ\frac{1}{\sqrt5} ⓑ\frac{1}{\sqrt2} ⓒ1 ⓓ\sqrt2 ⓔ\frac{2}{\sqrt5} ⓕ4
\end{eqnarray}
2021中央大学理工学部過去問
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} 放物線C:y=x^2上の点(a,\ a^2) (a \gt 0)における法線lの方程式をy=f(x)\\
とおくと、f(x)=\boxed{\ \ ア\ \ }となる。またCとlの交点のうちPと異なる方の点Qを\\
求めると、Q(\boxed{\ \ イ\ \ },\ \boxed{\ \ イ\ \ }^2)となる。以下、Cとlで囲まれた部分をDとし、\\
Dをlの周りに1回転して得られる回転体の体積V(a)を求める。Dに含まれるl上\\
の点をR(t,\ f(t)) (\boxed{\ \ イ\ \ } \leqq t \leqq a)とおく。Rを通りlに垂直な直線は\\
y=2a(x-t)+f(t)で与えられる。この直線とy=x^2の2つの交点のうち\\
Dに含まれる方の点Sのx座標はx=a-\boxed{\ \ ウ\ \ }\sqrt{a-t}\ となる。このとき\\
線分RSの長さr=g(t)はg(t)=\boxed{\ \ エ\ \ }(t-a+\boxed{\ \ ウ\ \ }\sqrt{a-t})となる。\\
線分QRの長さs=h(t)はh(t)=\boxed{\ \ オ\ \ }(t-\boxed{\ \ イ\ \ })で与えられるので、\\
V(a)=\pi\int_0^{h(a)}r^2ds=\pi\int_{\boxed{イ}}^a\left\{g(t)\right\}^2h'(t)dt\\
=\pi\left\{(\boxed{\ \ エ\ \ })^2×\boxed{\ \ オ\ \ }\right\}\int_{\boxed{イ}}^a(a-t)(-\sqrt{a-t}+\boxed{\ \ ウ\ \ })^2dt\\
となる。ここでu=\sqrt{a-t}とおいて置換積分を行えば\\
V(a)=2\pi\left\{(\boxed{\ \ エ\ \ })^2×\boxed{\ \ オ\ \ }\right\}\int_0^{\boxed{ウ}}\left\{u^5-2\boxed{\ \ ウ\ \ }u^4+(\boxed{\ \ ウ\ \ })^2u^3\right\}du=\boxed{\ \ カ\ \ }\\
が求まる。さらに、a \gt 0の範囲でaを動かすとき、\lim_{a \to +0}V(a)=\lim_{a \to \infty}V(a)=\infty\\
であり、V(a)を最小にするaの値はa=\boxed{\ \ キ\ \ }である。\\
\\
\\
\boxed{\ \ ア\ \ }\ の解答群\\
ⓐ-\frac{2}{a}(x-a)+a^2 ⓑ-\frac{1}{a}(x-a)+a^2 ⓒ-\frac{1}{2a}(x-a)+a^2 ⓓ-2a(x-a)+a^2\\
\\
\\
\boxed{\ \ イ\ \ }～\ \boxed{\ \ オ\ \ }\ の解答群\\
ⓐ-\frac{a^2-1}{a} ⓑ-\frac{2a^2-1}{2a} ⓒ-\frac{a^2+1}{a} ⓓ-\frac{2a^2+1}{2a}\\
ⓔ\frac{\sqrt{a^2+4}}{2} ⓕ\sqrt{a^2+1} ⓖ\sqrt{4a^2+1} ⓗ2a\\
ⓘ\frac{\sqrt{4a^2+1}}{2a} ⓙ\frac{\sqrt{a^2+4}}{a} ⓚ\frac{\sqrt{a^2+1}}{a} ⓛ\frac{\sqrt{a^2+1}}{2a}\\
ⓜ\sqrt{\frac{2a^2+1}{2a}} ⓝ\sqrt{\frac{4a^2+1}{2a}} ⓞ\sqrt{\frac{2a^2+1}{a}} ⓟ\sqrt{\frac{4a^2+1}{a}}\\
\\
\\
\boxed{\ \ カ\ \ }\ の解答群\\
ⓐ\frac{(2a^2+1)^3(a^2+1)^{\frac{3}{2}}}{60a^4}\ \pi ⓑ\frac{(2a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{120a^4}\ \pi ⓒ\frac{(2a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{60a^4}\ \pi\\
ⓓ\frac{(2a^2+1)^3(4a^2+1)^{\frac{3}{2}}}{60a^4}\ \pi ⓔ\frac{(4a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{480a^4}\ \pi ⓕ\frac{(4a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{60a^4}\ \pi\\
ⓖ\frac{(a^2+1)^2(4a^2+1)^2}{120a^{\frac{7}{2}}}\ \pi ⓗ\frac{(4a^2+1)^4}{480\sqrt2a^{\frac{7}{2}}}\ \pi ⓘ\frac{(4a^2+1)^4}{120\sqrt2a^{\frac{7}{2}}}\ \pi\\
\\
\\
\boxed{\ \ キ\ \ }\ の解答群\\
ⓐ\frac{1}{\sqrt5} ⓑ\frac{1}{\sqrt2} ⓒ1 ⓓ\sqrt2 ⓔ\frac{2}{\sqrt5} ⓕ4
\end{eqnarray}
2021中央大学理工学部過去問
投稿日：2021.08.12
