福田の数学〜早稲田大学2023年理工学部第4問〜複素数平面上の点の軌跡 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜早稲田大学2023年理工学部第4問〜複素数平面上の点の軌跡

問題文全文(内容文):
$\Large\boxed{4}$ 複素数平面上に2点A(1), B($\sqrt 3 i$)がある。ただし、$i$は虚数単位である。
複素数zに対し$w$=$\frac{3}{z}$で表される点$w$を考える。以下の問いに答えよ。
(1)z=1, $\frac{1+\sqrt 3i}{2}$, $\sqrt 3 i$のときのwをそれぞれ計算せよ。
(2)実数tに対し、z=(1-t)+t$\sqrt 3 i$とする。$\alpha$=$\frac{3-\sqrt 3 i}{2}$について、$\alpha z$の実部を求め、さらに($w-\alpha$)($\bar{w-\alpha}$)を求めよ。
(3)wと原点を結んでできる線分Lを考える。zが線分AB上を動くとき、線分Lが通過する範囲を図示し、その面積を求めよ。
単元: #大学入試過去問(数学)#複素数平面#微分とその応用#複素数平面#図形への応用#色々な関数の導関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師: JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文):
$\Large\boxed{4}$ 複素数平面上に2点A(1), B($\sqrt 3 i$)がある。ただし、$i$は虚数単位である。
複素数zに対し$w$=$\frac{3}{z}$で表される点$w$を考える。以下の問いに答えよ。
(1)z=1, $\frac{1+\sqrt 3i}{2}$, $\sqrt 3 i$のときのwをそれぞれ計算せよ。
(2)実数tに対し、z=(1-t)+t$\sqrt 3 i$とする。$\alpha$=$\frac{3-\sqrt 3 i}{2}$について、$\alpha z$の実部を求め、さらに($w-\alpha$)($\bar{w-\alpha}$)を求めよ。
(3)wと原点を結んでできる線分Lを考える。zが線分AB上を動くとき、線分Lが通過する範囲を図示し、その面積を求めよ。
投稿日:2023.04.27

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【数学】高次方程式と複素数平面/1の累乗根の性質を利用する解法

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\[
\alpha_1^{2026} + \alpha_2^{2026} + \dots + \alpha_7^{2026}
\]
の値を求めよ。
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大学入試問題#625「根性がためされている」 横浜市立大学医学部(2005) #複素数

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問題文全文(内容文):
$Z$:複素数
$Z^6+Z^3+1=0$のとき、
$|Z+\displaystyle \frac{1+i}{\sqrt{ 2 }}|^2+|Z-\displaystyle \frac{1+i}{\sqrt{ 2 }}|^2$の値を求めよ

出典:2005年横浜市立大学 入試問題
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数学「大学入試良問集」【16−2 複素数平面と三角形の形との関係】を宇宙一わかりやすく

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問題文全文(内容文):
複素数平面上に三角形$ABC$があり、その頂点$A,B,C$を表す複素数をそれぞれ$z_1,z_2,z_3$とする。
複素数$\omega$に対して、$z_1=\omega z_3,z_2=\omega z_1,z_3=\omega z_2$が成り立つとき、次の各問いに答えよ。
(1)$1+\omega+\omega^2$の値を求めよ。
(2)三角形$ABC$はどんな形の三角形か。
(3)$z=z_1+2z_2+3z_3$の表す点を$D$とすると、三角形$OBD$はどんな形の三角形か。ただし、$O$は原点である。
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問題文全文(内容文):
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共役複素数の性質を利用して$z$を求めよ.
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問題文全文(内容文):
aを正の実数とする。複素数$z$が$|z-1|=a$かつ$z\neq \frac{1}{2}$を満たしながら
動くとき、複素数平面上の点$w=\frac{z-3}{1-2z}$が描く図形をKとする。
このとき、次の問いに答えよ。
(1)Kが円となるためのaの条件を求めよ。また、そのとき
Kの中心が表す複素数とKの半径を、それぞれaを用いて表せ。
(2)aが(1)の条件を満たしながら動くとき、虚軸に平行で円Kの直径となる
線分が通過する領域を複素数平面上に図示せよ。

2022東京工業大学理系過去問
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