問題文全文(内容文)：
'04大阪大学過去問題
p,q素数(p＞2q)
$a_n=P^n-4(-q)^n$ 　n自然数
(1)$a_1$と$a_2$が1より大きい公約数mをもつならばm=3であることを示せ
(2)$a_n$が全て3の倍数であるようなp,qのうち積pqが最小となるものを求めよ。

問題文全文(内容文)：
11111・・・111のようにすべての桁の数字が1である整数の中には2019の倍数があることを示せ

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \sum_{n=1}^{1000} [\frac{2^n}{3} ]$を求めて下さい。$[x]$は$x$をこえない最大の整数を表す。

問題文全文(内容文)：

$\boxed{4}$

この問いでは、

$0$以上の整数の$2$乗になる数を平方数と呼ぶ。

$a$を正の整数とし、

$f_a (x) = x^2+x-a$とおく。

(1)$n$を正の整数とする。

$f_a(n)$は平方数ならば、$n\leqq a$であることを示せ。

(2)$f_a (n)$が平方数となる正の整数$n$の個数を

$N_a$とおく。

次の条件$(i),(ii)$が同値であることを示せ。

$(i)\quad N_a=1$である。

$(ii)\quad 4a+1$は素数である。

$2025$年東京大学理系過去問題

問題文全文(内容文)：
${\large第4問}$
円周上に15個の点$P_0,P_1,\ldots,P_{14}$が反時計回りに順に並んでいる。最初、
点$P_0$に石がある。さいころを投げて偶数の目が出たら石を反時計回りに5個先
の点に移動させ、奇数の目が出たら石を時計回りに3個先の点に移動させる。
この操作を繰り返す。例えば、石が点$P_5$にあるとき、さいころを投げて6の目が
出たら石を点$P_{10}$に移動させる。次に、5の目が出たら点$P_{10}$にある石を
点$P_7$に移動させる。

(1)さいころを5回投げて、偶数の目が$\boxed{\ \ ア\ \ }$回、奇数の目が$\boxed{\ \ イ\ \ }$回
出れば、点$P_0$にある石を点$P_1$に移動させることができる。このとき、
$x=\boxed{\ \ ア\ \ },$　$y=\boxed{\ \ イ\ \ }$は、不定方程式$5x-3y=1$の整数解に
なっている。

(2)不定方程式
$5x-3y=8$　$\cdots$①
の全ての整数解$x,y$は、$k$を整数として

$x=\boxed{\ \ ア\ \ }×8+\boxed{\ \ ウ\ \ }\ k,$　$y=\boxed{\ \ イ\ \ }×8+\boxed{\ \ エ\ \ }\ k$

と表される。①の整数解$x,y$の中で、$0 \leqq y \lt \boxed{\ \ エ\ \ }$を満たすものは

$x=\boxed{\ \ オ\ \ },$　$y=\boxed{\ \ カ\ \ }$

である。したがって、さいころを$\boxed{\ \ キ\ \ }$回投げて、偶数の目が$\boxed{\ \ オ\ \ }$回、
奇数の目が$\boxed{\ \ カ\ \ }$回出れば、点$P_0$にある石を点$P_8$に移動させることが
できる。

(3)(2)において、さいころを$\boxed{\ \ キ\ \ }$回より少ない回数だけ投げて、点$P_0$
にある石を点$P_8$に移動させることはできないだろうか。

(*)石を反時計回りまたは時計回りに15個先の点に移動させると
元の点に戻る。

(*)に注意すると、偶数の目が$\boxed{\ \ ク\ \ }$回、奇数の目が$\boxed{\ \ ケ\ \ }$回出れば、
さいころを投げる回数が$\boxed{\ \ コ\ \ }$回で、点$P_0$にある石を点$P_8$に移動させる
ことができる。このとき、$\boxed{\ \ コ\ \ } \lt \boxed{\ \ キ\ \ }$　である。

(4)点$P_1,P_2,\cdots,P_{14}$のうちから点を一つ選び、点$P_0$にある石をさいころを
何回か投げてその点に移動させる。そのために必要となる、さいころを
投げる最小回数を考える。例えば、さいころを1回投げて点$P_0$にある石を
点$P_2$へ移動させることはできないが、さいころを2回投げて偶数の目と
奇数の目が1回ずつ出れば、点$P_0$にある石を点$P_2$へ移動させることができる。
したがって、点$P_2$を選んだ場合には、この最小回数は2回である。
点$P_1,P_2,\cdots,P_{14}$のうち、この最小回数が最も大きいのは点$\boxed{\boxed{\ \ サ\ \ }}$であり、
その最小回数は$\boxed{\ \ シ\ \ }$回である。

$\boxed{\boxed{\ \ サ\ \ }}$の解答群
⓪$P_{10}$
①$P_{11}$
②$P_{12}$
③$P_{13}$
④$P_{14}$

2021共通テスト過去問