福田の数学〜東京工業大学2024年理系第3問〜点列と漸化式の極限

問題文全文(内容文)：

3

x y

平面上に、点A(

a

,0), B(0,

b

), C(

- a

,0)(ただし0＜

a

＜

b

)をとる。点A,Bを通る直線を

l

とし、点Cを通り線分BCに垂直な直線を

k

とする。さらに、点Aを通り

y

軸に平行な直線と直線

k

との交点を

C_{1}

とし、点

C_{1}

を通り、

x

軸に平行な直線と直線

l

との交点を

A_{1}

とする。以下、

n

=1,2,3,...に対して、点

A_{n}

を通り

y

軸に平行な直線と直線

k

との交点を

C_{n + 1}

、点

C_{n + 1}

を通り

x

軸に平行な直線と直線

l

との交点を

A_{n + 1}

とする。
(1)点

A_{n}

C_{n}

の座標を求めよ。
(2)△

C B A_{n}

の面積

S_{n}

を求めよ。
(3)

lim_{n \to \infty} \frac{B A_{n}}{B C}

を求めよ。

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

x y

平面上に、点A(

a

,0), B(0,

b

), C(

- a

,0)(ただし0＜

a

＜

b

)をとる。点A,Bを通る直線を

l

とし、点Cを通り線分BCに垂直な直線を

k

とする。さらに、点Aを通り

y

軸に平行な直線と直線

k

との交点を

C_{1}

とし、点

C_{1}

を通り、

x

軸に平行な直線と直線

l

との交点を

A_{1}

とする。以下、

n

=1,2,3,...に対して、点

A_{n}

を通り

y

軸に平行な直線と直線

k

との交点を

C_{n + 1}

、点

C_{n + 1}

を通り

x

軸に平行な直線と直線

l

との交点を

A_{n + 1}

とする。
(1)点

A_{n}

C_{n}

の座標を求めよ。
(2)△

C B A_{n}

の面積

S_{n}

を求めよ。
(3)

lim_{n \to \infty} \frac{B A_{n}}{B C}

を求めよ。

投稿日：2024.03.18

＜関連動画＞

【For you 動画－１５】　　数B－漸化式

単元： #数列#漸化式#数学(高校生)#数B

指導講師：とある男が授業をしてみた

問題文全文(内容文)：
一般項

a n

を出す公式
【等差】

a_{n} =

①＿＿＿＿
【等比】

a_{n} =

②＿＿＿＿
【階差】

(a_{n + 1} - a_{n} = b_{n})

③＿＿＿＿のとき

a_{n} =

④＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

◎グループ分けをしよう!

A a_{n + 1} = 2 a_{n}

B a_{n + 1} - a_{n} = 3^{n}

C a_{n + 1} + 5 a_{n} = 0

D a_{n + 1} = a_{n} + 7

E a_{n + 1} - 3 a_{n} = 4

F a_{n + 1} - a_{n} = - 2 n + 1

等差数列は⑤＿＿＿＿,等比数列は⑥＿＿＿＿
階差数列は⑦＿＿＿＿, 変形が必要なのは⑧＿＿＿＿
⑧を変形すると⑨＿＿＿＿＿＿＿＿になる。

この動画を見る　

04兵庫県教員採用試験（数学：2番　数列と帰納法）

単元： #数列#漸化式#数学的帰納法#その他#数学(高校生)#数B#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a_{1} = \frac{1}{2}

a_{n + 1} = \frac{1}{2 - a_{n}}

一般項

a_{n}

を求めよ

この動画を見る　

【数学B/テスト対策】等差数列の一般項と和

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：【ゼロから理解できる】高校数学・物理

問題文全文(内容文)：
等差数列

- 2, 1, 4, 7, 10 \dots

について、次の問いに答えよ。
（1）一般項

a_{n}

を求めよ。
（2）第100項

a_{100}

を求めよ。
（3）初項から第

n

項までの和

S_{n}

を求めよ。

この動画を見る　

熊本大　漸化式　高校数学 Japanese university entrance exam questions

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#熊本大学#数学(高校生)#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
熊本大学過去問題

a_{1} = b_{1} = 1, b_{n + 1} = 3 b_{n} + a_{n}

c_{n} = a_{n} + b_{n} + 1

数列｛

c_{n}

｝は公比3の等比数列である。
(1)

a_{n}

をnで表せ。
(2)

b_{n}

をnで表せ。

この動画を見る　

順天堂大（医）等比数列の和の収束

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B#順天堂大学

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
{

a_{n}

}は等比数列
無限級数

a_{2} + a_{4} + a_{6} + \dots

は

\frac{12}{5}

に収束

a_{3} + a_{6} + a_{9} + \dots

は

\frac{24}{19}

に収束

{

a_{n}

}の公比、初項、無限階数

a_{1} + a_{2} + 1_{3} + \dots

は[　]に収束するか求めよ

出典：順天堂大学医学部　過去問

この動画を見る　

<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の数学〜東京工業大学2024年理系第3問〜点列と漸化式の極限

＜関連動画＞

【For you 動画－１５】 数B－漸化式

04兵庫県教員採用試験（数学：2番 数列と帰納法）

【数学B/テスト対策】等差数列の一般項と和

熊本大 漸化式 高校数学 Japanese university entrance exam questions

順天堂大（医）等比数列の和の収束