福田の数学〜明治大学2021年理工学部第1問(4)〜定積分で表された関数と変曲点 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜明治大学2021年理工学部第1問(4)〜定積分で表された関数と変曲点

問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (4)\ 連続関数f(x)は区間\ x \geqq 0で正の値をとり、区間\ x \gt 0で微分可能\\
かつf'(x)≠0であるとする。さらに、実数の定数aと関数f(x)が\\
\int_0^x3t^2f(t)dt-(x^3+3)f(x)+\log f(x)=a (x \geqq 0)\\
を満たすとする。このとき\\
a=-\boxed{\ \ ヌ\ \ }-\log\boxed{\ \ ネ\ \ }\\
である。また、曲線\ y=f(x)\ (x \gt 0)の変曲点のx座標をpとすると\\
p^3=\frac{\boxed{\ \ ノ\ \ }}{\boxed{\ \ ハ\ \ }}\ である。ただし、\log xはxの自然対数である。
\end{eqnarray}
単元: #微分とその応用#積分とその応用#定積分#大学入試解答速報#数学#明治大学#数Ⅲ
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (4)\ 連続関数f(x)は区間\ x \geqq 0で正の値をとり、区間\ x \gt 0で微分可能\\
かつf'(x)≠0であるとする。さらに、実数の定数aと関数f(x)が\\
\int_0^x3t^2f(t)dt-(x^3+3)f(x)+\log f(x)=a (x \geqq 0)\\
を満たすとする。このとき\\
a=-\boxed{\ \ ヌ\ \ }-\log\boxed{\ \ ネ\ \ }\\
である。また、曲線\ y=f(x)\ (x \gt 0)の変曲点のx座標をpとすると\\
p^3=\frac{\boxed{\ \ ノ\ \ }}{\boxed{\ \ ハ\ \ }}\ である。ただし、\log xはxの自然対数である。
\end{eqnarray}
投稿日:2021.09.29

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問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}} 座標平面の原点Oを極、x軸の正の部分を始線とする極座標(r,\ \theta)を考える。\\
k \gt 0として、極方程式\\
r(\sqrt{\cos\theta}+\sqrt{\sin\theta})^2=k  (0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2})\\
で表される曲線をC(k)とする。曲線C(k)上の点を直交座標(x,\ y)で表せばxの\\
とりうる値の範囲は、\boxed{\ \ ア\ \ } \leqq x \leqq \boxed{\ \ イ\ \ }\ である。\\
曲線C(k)とx軸、y軸で囲まれた図形の面積をS(k)とおけば、S(k)=\boxed{\ \ ウ\ \ }\ \\
でなる。直交座標が(\frac{k}{4},\ \frac{k}{4})である曲線\ C(k)上の点Aにおける曲線C(k)の接線l\\
の方程式は、y=\boxed{\ \ エ\ \ }となる。曲線\ C(k)と直線l、およびx軸で囲まれた\\
図形の面積をT(k)とおけば、S(k)=\boxed{\ \ オ\ \ }\ T(k)が成り立つ。0 \lt m \lt nを\\
満たす実数m,nに対して、S(n)-S(m)がT(n)と等しくなるのは、\\
\\
\frac{m^2}{n^2}=\frac{\boxed{\ \ カ\ \ }}{\boxed{\ \ キ \ \ }}\ のときである。\\
\\
\boxed{\ \ イ\ \ }\ 、\boxed{\ \ ウ\ \ }の解答群\\
⓪\sqrt k  ①k  ②k^2  ③\frac{\sqrt 2}{2}  ④\frac{\sqrt 2}{3}  \\
⑤\frac{k}{2}  ⑥\frac{k}{3}  ⑦\frac{k^2}{4}  ⑧\frac{k^2}{5}  ⑨\frac{k^2}{6}  \\
\\
\boxed{\ \ エ\ \ }\ の解答群\\
⓪x+\frac{k}{2}  ①x+\frac{k}{4}  ②-x+\frac{k}{2}  ③-x+\frac{k}{4}  ④2x-\frac{k}{2}  \\
⑤2x-\frac{k}{4}  ⑥2x-\frac{3k}{4}  ⑦-2x+\frac{k}{2}  ⑧-2x+\frac{k}{4}  ⑨-2x+\frac{3k}{4}  
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
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について、以下の問いに答えよ。\\
(1)t=\frac{\pi}{6}のときy=f(x) (0 \leqq x \leqq \pi)のグラフを描け。\\
\\
(2)y=f(x) (0 \leqq x \leqq \pi)のグラフとx軸、y軸および直線x=\pi\\
で囲まれた図形の面積をSとする。Sをtを用いて表せ。\\
\\
(3)tが\leqq t \leqq \frac{\pi}{2}の範囲を動くときのSの最大値と最小値を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
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\end{eqnarray}
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