【数Ⅲ】【微分とその応用】不等式の応用3 ※問題文は概要欄

問題文全文(内容文)：
すべての正の数xに対して、

不等式

\sqrt{x} > a \log x

が成り立つような定数aの値の範囲を求めよ。

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単元： #微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
すべての正の数xに対して、

不等式

\sqrt{x} > a \log x

が成り立つような定数aの値の範囲を求めよ。

投稿日：2025.01.22

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問題文全文(内容文)：

5

　曲線y=

\log x

上の点A(t,

\log t

)における法線上に、点BをAB=1となるようにとる。ただしBのx座標はtより大きい。
(1)点Bの座標(u(t), v(t))を求めよ。また

(\frac{d u}{d t}, \frac{d v}{d t})

を求めよ。
(2)実数rは0＜r＜1を満たすとし、tがrから1まで動くときに点Aと点Bが描く曲線の長さをそれぞれ

L_{1} (r)

L_{2} (r)

とする。このとき、極限

lim_{r \to + 0} (L_{1} (r) - L_{2} (r))

を求めよ。

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問題文全文(内容文)：
数学

III

　接線(1)　陰関数の定義

曲線　

\sqrt{x} + \sqrt{y} = 1

上の点

P (\frac{1}{4}, \frac{1}{4})

における接線および
法線の方程式を求めよ。

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問題文全文(内容文)：
aを実数とし、

f (x) = x^{3} - 3 a x

とする。区間

- 1 ≦ x ≦ 1

における

| f (x) |

の最大値をMとする。Mの最小値とそのときのaの値を求めよ。

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問題文全文(内容文)：

4

　
曲線

y = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} (x > 0)

を

C

で表す。

Q (X, Y)

を中心とする半径

r

の円が曲線

C

と、点

P (t, \frac{e^{t} + e^{- t}}{2})

(ただし

t > 0

)において共通の接線をもち、さらに

X < t

であるとする。このとき

X

および

Y

を

t

の式で表すと

X = (あ), Y = (い)

となる。

t

の関数

X (t), Y (t)

を

X (t) = (あ), Y (t) = (い)

により定義する。全ての

t > 0

に対して

X (t) > 0

となるための条件は、

r

が不等式

(う)

を満たすことである。

(う)

が成り立たないとき、関数

Y (t)

は

t = (え)

において最小値

(お)

をとる。また

(う)

が成り立つとき、

Y

を

X

の関数と考えて、

(\frac{d Y}{d X})^{2} + 1

を

Y

の式で表すと

(\frac{d Y}{d X})^{2} + 1 = (か)

　となる。

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f (x) = \frac{1}{x^{3}}

において

f^{'} (1)

を定義に従って求めよ。

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