問題文全文(内容文)：
${\large第4問}$
[1]自然数$n$に対して、$S_n=5^n-1$とする。さらに、数列$\left\{a_n\right\}$の初項から
第$n$項までの和が$S_n$であるとする。このとき、$a_1=\boxed{\ \ ア\ \ }$である。また
$n \geqq 2$のとき
$a_n=\boxed{\ \ イ\ \ }・\boxed{\ \ ウ\ \ }^{n-1}$
である。この式は$n=1$の時にも成り立つ。
上で求めたことから、すべての自然数$n$に対して
$\sum_{k=1}^n\displaystyle \frac{1}{a_k}=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ エ\ \ }}{\boxed{\ \ オカ\ \ }}\left(1-\boxed{\ \ キ\ \ }^{-n}\right)$
が成り立つことが分かる。

[2]太郎さんは和室の畳を見て、畳の敷き方が何通りあるかに興味を持った。
ちょうど手元にタイルがあったので、畳をタイルに置き換えて、
数学的に考えることにした。
縦の長さが1、横の長さが2の長方形のタイルが多数ある。
それらを縦か横の向きに、隙間も重なりもなく敷き詰めるとき、
その敷き詰め方をタイルの「配置」と呼ぶ。

上の図(※動画参照)のように、縦の長さが3,横の長さが$2n$の長方形を$R_n$とする。
$3n$枚のタイルを用いた$R_n$内の配置の総数を$r_n$とする。
$n=1$のときは、下の図(※動画参照)のように$r_1=3$である。

また、$n=2ｎ4$ときは、下の図(※動画参照)のように$r_2=11$である。

(1)太郎さんは次のような図形$T_n$内の配置を考えた。
$(3n+1)$枚のタイルを用いた$T_n$内の配置の総数を$t_n$とする。$n=1$
のときは、$t_1=\boxed{\ \ ク\ \ }$である。
さらに、太郎さんは$T_n$内の配置について、右下隅のタイルに注目して
次のような図(※動画参照)をかいて考えた。

この図(※動画参照)から、2以上の自然数$n$に対して
$t_n=Ar_n+Bt_{n-1}$
が成り立つことが分かる。ただし、$A=\boxed{\ \ ケ\ \ },　B=\boxed{\ \ コ\ \ }$である。
以上から、$t_2=\boxed{\ \ サシ\ \ }$であることが分かる。
同様に、$R_n$の右下隅のタイルに注目して次のような図(※動画参照)をかいて考えた。

この図(※動画参照)から、2以上の自然数$n$に対して
$r_n=Cr_{n-1}+Dt_{n-1}$
が成り立つことが分かる。ただし、$C=\boxed{\ \ ス\ \ },　D=\boxed{\ \ セ\ \ }$である。

(2)畳を縦の長さが1,　横の長さが2の長方形と見なす。縦の長さが3,　横の長さが6
の長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき、敷き詰め方の総数は$\boxed{\ \ ソタ\ \ }$である。
また、縦の長さが、横の長さがの長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき、
敷き詰め方の総数は$\boxed{\ \ チツテ\ \ }$である。

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
$a_2=3$
$2S_n=(n+1)a_n-(n-1)$
{$a_n$}の一般項を求めよ

問題文全文(内容文)：
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} +\frac{1}{16} +\frac{1}{32} + \cdots =?$

問題文全文(内容文)：
$\left[\dfrac{1}{a_n}\right]$は初項$\dfrac{1}{a}$公差$d$の等差数列$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n a_{n+1}$を求めよ.

1998東北大(医他)過去問

問題文全文(内容文)：
$a_{1}=4$
$a_{n+1} = \dfrac{4a_n + 8}{a_n + 6}$
によって定められる数列$a_n$に対して、
$b_n = \dfrac{a_n - 2}{a_n + 4}$
とおくと、数列 $b_n$は等比数列である。
数列$a_n$の一般項を求めよ。