福田の一夜漬け数学〜数学III 複素数平面〜三角形の形状(2)

問題文全文(内容文)：

1

　異なる3点

A (α), B (β), C (γ)

が

α + β + γ = α^{2} + β^{2} + γ^{2} = 0

を満たす。

△ A B C

はどのような三角形か。

単元： #複素数平面#複素数平面#図形への応用#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

　異なる3点

A (α), B (β), C (γ)

が

α + β + γ = α^{2} + β^{2} + γ^{2} = 0

を満たす。

△ A B C

はどのような三角形か。

投稿日：2018.05.31

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
以下の問いに答えよ。
(1)

θ

を

0 ≦ θ < 2 π

を満たす実数、iを虚数単位とし、

z = \cos θ + i \sin θ

で
表される複素数とする。このとき、整数nに対して次の式を証明せよ。

\cos n θ = \frac{1}{2} (z^{n} + \frac{1}{z^{n}}), \sin n θ = - \frac{i}{2} (z^{n} - \frac{1}{z^{n}})

(2)次の方程式を満たす実数

x (0 ≦ x < 2 π)

を求めよ。

\cos x + \cos 2 x - \cos 3 x = 1

(3)次の式を証明せよ。

\sin^{2} 20 ° + \sin^{2} 40 ° + \sin^{2} 60 ° + \sin^{2} 80 ° = \frac{9}{4}

2016九州大学理系過去問

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福田の一夜漬け数学〜数学III 複素数平面〜点の軌跡(2)

単元： #数Ⅱ#複素数平面#図形と方程式#軌跡と領域#複素数平面#図形への応用#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

　点

z

が原点中心、半径1の円周上を動くとき、次の条件を満たす
点

w

はどのような図形を描くか。
(1)

w = 2 i z + 1

(2)

w = \frac{3 z - 2 i}{z - 2}

2

\frac{z}{z^{2} + 1}

が実数となるように

z

が動くとき、
点

z

はどのような図形を描くか。

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福田の数学〜名古屋大学2022年理系第３問〜複素数平面上の正六角形の頂点の位置

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
複素数平面上に、原点Oを頂点の1つとする正六角形OABCDEが与えられている。
ただしその頂点は時計の針の進む方向と逆向きにO,A,B,C,D,Eとする。
互いに異なる0でない複素数

α, β, γ

が、

0 ≦ \arg (\frac{β}{α}) ≦ π, 4 α^{2} - 2 α β + β^{2} = 0

2 γ^{2} - (3 α + β + 2) γ + (α + 1) (α + β) = 0

を満たし、

α, β, γ

のそれぞれが正六角形OABCDEの頂点のいずれかであるとする。
(1)

\frac{β}{α}

を求め、

α, β

がそれぞれどの頂点か答えよ。
(2)組

(α, β, γ)

を全て求め、それぞれの組について正六角形OABCDEを
複素数平面上に図示せよ。

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2022東海大（医）ドモアブルの定理の基本

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数C#東海大学

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

(\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2} i})^{8}

これを解け.

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福田の数学〜上智大学2023年理工学部第1問(1)〜複素数平面と確率

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(1)次の6つの複素数が1つずつ書かれた6枚のカードがある。

\frac{1}{2}

, 1, 2,

\cos \frac{π}{6} + i \sin \frac{π}{6}

\cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3}

\cos \frac{π}{2} + i \sin \frac{π}{2}

これらから無作為に3枚選び、カードに書かれた3つの複素数を掛けた値に対応する複素数平面上の点をPとする。
(i)点Pが虚軸上にある確率は

\frac{ア}{イ}

である。
(ii)点Pの原点からの距離が1である確率は

\frac{ウ}{エ}

である。

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の一夜漬け数学〜数学III 複素数平面〜三角形の形状(2)

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