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$\triangle \mathrm{ABC}$において、$\frac{\sin A+\sin B}{2}\leqq \sin \frac{A+B}{2} \cdots (*)$を証明してください。

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$m,n$：自然数
$m \geqq 2$
$f(\theta)=\displaystyle \frac{\sin\ n\theta}{\cos\ n\theta+m}$の最大値を$\alpha(m,n)$とする
$\displaystyle \sum_{m=2}^\infty \{\alpha(m,n)\}^2$を求めよ

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三角関数の性質の裏技紹介動画です

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$0^{ \circ } \leqq \theta \leqq 180^{ \circ }$のとき、$y=3-2\sin^2\theta-\cos\theta$の最大値と最小値を求めよ。

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$\boxed{1}(2)0 \leqq θ \lt 2π$のとき、次の不等式を解こう。
$sin2θ \gt 2cos(θ+\frac{π}{6})+\frac{\sqrt{3}}{2}・・・③$
$a=cosθ,b=sinθ$とおくと、次の不等式$③$は
$\boxed{キ}ab-\boxed{ク}\sqrt{\boxed{ケ}}a+\boxed{コ}b-\sqrt{2}\gt0 ・・・④$
となる。不等式$④$の左辺は
$(\boxed{サ}a+\boxed{シ})(\boxed{ス}b-\sqrt{セ})$
と因数分解できる。これより、不等式$③$の解は
$\frac{π}{\boxed{ソ}} \lt θ \lt \frac{\boxed{タ}}{\boxed{チ}}π$または$\frac{\boxed{ツ}}{\boxed{テ}}π \lt θ \lt\frac{\boxed{ト}}{\boxed{ナ}}π$
と求まる。