福田の数学〜東京工業大学2023年理系第５問(PART1)〜4直線に接する球面の決定

問題文全文(内容文)：

5

xyz空間の4点A(1,0,0), B(1,1,1), C(-1,1,-1), D(-1,0,0)を考える。
(1)2直線AB,BCから等距離にある点全体のなす図形を求めよ。
(2)4直線AB, BC, CD, DAに共に接する球面の中心と半径の組を全て求めよ。

2023東京工業大学理系過去問

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#図形と方程式#点と直線#平面上のベクトルと内積#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

投稿日：2023.03.07

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単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)#数C

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：

x y

平面において、原点

O

を通る半径

r (r > 0)

の円を

C

とし、その中心を

A

とする。

O

を除く

C

上の点

P

に対し、次の２つの条件

(a), (b)

で定まる点

Q

を考える。
（a）

\vec{O P}

と

\vec{O Q}

の向きが同じ。
（b）

| \vec{O P} | | \vec{O Q} | = 1

以下の問いに答えよ。
（1）
点

P

が

O

を除く

C

上を動くとき、点

Q

は

\vec{O A}

に直交する直線状を動くことを示せ。

（2）
（1）の直線を

l

とする。

l

が

C

と2点で交わるとき、

r

のとり得る値の範囲を求めよ。

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福田の数学〜北海道大学2024年理系第4問〜三角形の内心の位置ベクトル

単元： #平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

三角形OABが、|

\vec{O A}

|=3, |

\vec{A B}

|=5,

\vec{O A} ・ \vec{O B}

=10 を満たしているとする。
三角形OABの内接円の中心をIとし、この内接円と辺OAの接点をHとする。
(1)辺OBの長さを求めよ。
(2)

\vec{O I}

を

\vec{O A}

と

\vec{O B}

を用いて表せ。
(3)

\vec{H I}

を

\vec{O A}

と

\vec{O B}

を用いて表せ。

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【数C】【平面上のベクトル】ベクトルの基本計算1 ※問題文は概要欄

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C

教材： #4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#平面上のベクトル

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の等式を同時に満たすベクトル

\vec{x}

\vec{y}

を

\vec{a}

\vec{b}

を用いて表せ。

(1)

2 \vec{x} + \vec{y} = \vec{a}

\vec{x} - \vec{y} = \vec{b}

(2)

2 \vec{b} - 3 \vec{y} = \vec{a} + \vec{b}

\vec{x} + \vec{y} = \vec{a} - \vec{b}

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題092〜神戸大学2018年度理系第５問〜回転体の体積

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#微分とその応用#積分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

座標空間において、Oを原点とし、A(2,0,0), B(0,2,0), C(1,1,0)とする。

△

OABを直線OCの周りに1回転してできる回転体をLとする。
(1)直線OC上にない点P(x,y,z)から直線OCにおろした垂線をPHとする。

\vec{O H}

と

\vec{H P}

をx,y,zの式で表せ。
(2)点P(x,y,z)がLの点であるための条件は

z^{2} ≦ 2 x y

　かつ　

0 ≦ x + y ≦ 2

であることを示せ。
(3)

1 ≦ a ≦ 2

とする。Lを平面x=aで切った切り口の面積S(a)を求めよ。
(4)立体

(x, y, z) | (x, y, z) \in L, 1 ≦ x ≦ 2

の体積を求めよ。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
aは

a \neq 1

を満たす正の実数とする。xy平面上の点

P_{1}, P_{2}, \dots \dots, P_{n}, \dots \dots

および

Q_{1}, Q_{2}, \dots \dots, Q_{n}, \dots \dots

が、すべての自然数nについて

\vec{P_{n} P_{n + 1}} = (1 - a) \vec{P_{n} Q_{n}}, \vec{Q_{n} Q_{n + 1}} = (0, \frac{a^{- n}}{1 - a})

を満たしているとする。また

P_{n}

の座標を

(x_{n}, y_{n})

とする。
(1)

x_{n + 2}

を

a, x_{n}, x_{n + 1}

で表せ。
(2)

x_{1} = 0, x_{2} = 1

のとき、数列

{x_{n}}

の一般項を求めよ。
(3)

y_{1} = \frac{a}{(1 - a)^{2}}, y_{2} - y_{1} = 1

のとき数列

{y_{n}}

の一般項を求めよ。

2022北海道大学理系過去問

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