問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{6}$ pを3以上の素数とする。また、θを実数とする。
(1)$\cos3\theta$と$\cos4\theta$を$\cos\theta$の式として表せ。
(2)$\cos\theta$=$\frac{1}{p}$のとき、θ=$\frac{m}{n}$・$\pi$となるような正の整数m,nが存在するか否かを理由をつけて判定せよ。

チェビシェフの多項式
$\cos n\theta$=$T_n$($\cos\theta$)を満たすn次の多項式$T_n(x)$が存在し、その係数はすべて整数であり、最高次の係数が$2^{n-1}$である。
これが、すべての自然数nについて成り立つことを数学的帰納法で証明せよ。

2023京都大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
高校受験対策・死守81

①$81÷(-3)-(-11)$を計算しなさい。

②次の式を因数分解しなさい。
$(x-2)^2-18(x-2)+81$

③次の連立方程式を解きなさい。
$3x+11y=13$
$2x-3y=19$

④$311x-8y=1$を$y$について解きなさい。

⑤絶対値が$81$である数をすべて書きなさい。

⑥右の図において2直線$l,m$は平行である。
このとき、$\angle x$の大きさを求めなさい。

⑦3点$(-3,-11)$、$(2,9)$、$(k,81)$が一直線上にあるとき、 $k$の値を求めなさい。

⑧定価$8100$円のパーカーが$a$割引で売っていた。
それを買おうとレジに持っていくと、キャンペーンだったようで、そこからさらに$500$円引きしてくれた。
このとき、パーカーを買ったときの代金を$a$を使った式で表しなさい。
ただし消費税については考えないものとする。

問題文全文(内容文)：
個別指導プロ講師が厳選したプレテスト〜多項式の展開、因数分解を解説していきます.

問題文全文(内容文)：
高校受験対策・死守97

①$5-(-7)$を計算しなさい。
➁$\sqrt{ 27 }+\sqrt{ 12 }$を計算しなさい。
③$(\sqrt{ 2 }－1)^2$を計算しなさい。

④連立方程式を解きなさい。
$2x-3y=-4$
$x+2y=5$

⑤二次方程式$3x^2+7x+1=0$を解きなさい。

⑥相似な2つの立体$F,G$がある。
$F$と$G$の相似比が$3:5$であり、$F$の体積が$81\pi$$cm^3$のとき、$G$の体積を求めなさい。

⑦右の図のように、4点$A,B,C,D$が線分$BC$を直径とする 同じ円周上にあるとき、
$\angle ADB$の大きさを求めなさい。

⑧右下の図のような線分$OA$がある。
$\angle AOB=30°,OA=OB$となる二等辺三角形$OAB$を作図しなさい。
また点$B$の位置を示す文字$B$も図の中に書き入れなさい。
ただし、作図には定規とコンパスを用い、作図に用いた線は消えずに残しておくこと。

問題文全文(内容文)：
$9-3 \div \frac{1}{3} + 1$を計算しなさい