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'09名古屋市立大学過去問題
$(\log_2x)^3 - 6\log_{\sqrt2}x+k=0$
このxについての方程式が異なる2つの解をもつkの値と解を求めよ。

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$m, a, b, c, d, e, f, r, s, t$を自然数とする。このとき(1)~(5)に答えよ。ただし、(2)(3)の事実は(4)(5)で用いてよい。
(1)2次方程式$2x^2+5x+m=0$の解が有理数となるような自然数$m$をすべて求めよ。ただし、$p$が素数であるとき$\sqrt{p}$が無理数であることを用いてよい。
(2)3次方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$の実数解は負の数であることを証明せよ。ただし、方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$が少なくとも1つ実数解をもつことは証明せずに用いてよい。
(3)3次方程式$x^3+dx^2+ex+f=0$が整数$n$を解にもつとする。このとき$n$は$f$の約数であることを示せ。
(4)3次方程式$x^3+rx^2+rx+3=0$が整数解を少なくとも1つもつような自然数$r$をすべて求めよ。
(5)3次方程式$x^3+sx^2+tx+6=0$が異なる3つの整数を解にもつような自然数の組$(s, t)$をすべて求めよ。

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$ x^2+x+2=0$の2つの解を$ \alpha,\beta $とし,
$ \alpha^n+\beta^n=S(n)$とおくとき,
$ S(1),S(2),S(3),S(4),S(5)$を求めよ.

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$\Large\boxed{1}$ 曲線$y$=|$x^2-1$|を$C$、直線$y$=$2a(x+1)$を$l$とする。ただし、$a$は0<$a$<1を満たす実数とする。
(1)曲線$C$と直線$l$の共有点の座標を全て求めよ。
(2)曲線$C$と直線$l$で囲まれた2つの部分の面積が等しくなる$a$の値を求めよ。

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次の不等式を解け。
(1) $2\log_{0.1}{(x-1)} < \log_{0.1}{(7-x)}$
(2) $\log_{10}{(x-3)} + \log_{10}{x} \leq 1$
(3) $\log_{2}{(1-x)} + \log_{2}{(3-x)} < 1 + \log_{2}{3}$

次の方程式を解け。
(1) $2^x = 3^{2x-1}$
(2) $5^{2x} = 3^{x+2}$

次の方程式、不等式を解け。
(1) $(\log_{3}{x})^2 - \log_{2}{x^4} + 3 = 0$
(2) $(\log_{\frac{1}{2}}{x})^2 - \log_{\frac{1}{4}}x = 0$
(3) $(\log_{3}{x})^2 - \log_{9}{x} - 2 \leq 0$
(4) $(\log_{\frac{1}{3}}{x})^2 + \log_{\frac{1}{3}}{x^2} - 15 > 0$

次のxについての不等式を解け。
ただし、$a$ は 1 と異なる正の定数とする。
(1) $\log_{a}{(x+3)} < \log_{a}{(2x+2)}$
(2) $\log_{a}{(x^2 - 3x - 10)} \geq \log_{a}{(2x - 4)}$