問題文全文(内容文)：
次の和を求めよ。
(1)$2^2+4^2+6^2+8^2+\cdots +(2n{)}^2$
(2)$1\mathrm{・}2\mathrm{・}3+2\mathrm{・}3\mathrm{・}5$$+3\mathrm{・}4\mathrm{・}7+$$4\mathrm{・}5\mathrm{・}9+$$\cdots +n(n+1)(2n+1)$


次の数列の初項から第n項までの和を求めよ。
(1)$2, 2+4, 2+4+6,$$2+4+6+8,\cdots$
(2)$1^2+1\mathrm{・}2+2^2,$$2^2+2\mathrm{・}3+3^2,$$3^2+3\mathrm{・}4+4^2,\cdots$
(3)$1, 11, 111, 1111,\cdots$


次の数列の和を求めよ。
(1)$1\mathrm{・}n, 3(n-1), 5(n-2),$$\cdots$$,(2n-3)\mathrm{・}2$$, (2n-1)\mathrm{・}1$
(2)$1^2\mathrm{・}n, 2^2(n-1), 3^2(n-2),$$\cdots$$, (n-1{)}^2\mathrm{・}2$$, n^2\mathrm{・}1$

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 3}}$　$n$を自然数とする。1個のさいころを繰り返し投げる実験を行い、繰り返す回数が
$2n+1$回に達するか、5以上の目が2回連続して出た場合に実験を終了する。下の表は
$n=2$の場合の例である。例$\text{a}$では、5以上の目が2回連続して出ず、5回で実験を
終了した。例$\text{b}$では、5以上の目が2回連続して出たため、3回で実験を終了した。

$\begin{array}{cccccc}& 1\mathrm{回}\mathrm{目}& 2\mathrm{回}\mathrm{目}& 3\mathrm{回}\mathrm{目}& 4\mathrm{回}\mathrm{目}& 5\mathrm{回}\mathrm{目}\\ \mathrm{例}\text{a}& ⚃& ⚅& ⚀& ⚁& ⚀\\ \mathrm{例}\text{b}& ⚂& ⚅& ⚄\end{array}$

この実験において、$A$を「5以上の目が2回連続して出る」事象、非負の整数$k$に対し
$B_k$を「5未満の目が出た回数がちょうど$k$である」事象とする。一般に、事象Cの
確率を$P(C),C$が起こったときの事象$D$が起こる条件付き確率を$P_C(D)$と表す。

(1)$n=1$のとき、$P(B_1)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}$である。

(2)$n=2$のとき、$P_{B_2}(A)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}$である。
以下、$n\geqq 1$とする。

(3)$P_{B_k}(A)=1$となる$k$の値の範囲は$0\leqq k\leqq K_n$と表すことができる。この$K_n$を
$n$の式で表すと$K_n=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}$である。

(4)$p_k=P(A\cap B_k)$とおく。$0\leqq k\leqq K_n$のとき、$p_k$を求めると$p_k=\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}$である。
また、$S_n={\displaystyle \sum _{k=0}^{K_n}k{p}_k}$　とおくと$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}$である。

2021慶應義塾大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
$n=1,2,3････$
$a_1=31$
$a_{n+1}={\displaystyle \frac{(n+3)a_n-28}{n+2}}$
一般項を求めよ.

2020岩手大過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 4}}$
1辺の長さが$1$の正三角形を下図(※動画参照)のように積んでいく。図の中には大きさの異なったいくつかの正三角形が含まれているが、底辺が下側にあるものを「上向きの正三角形」、底辺が上側にあるものを「下向きを正三角形」とよぶことにする。例えば、この図(※動画参照)は1辺の長さが1の正三角形を4段積んだものであり、1辺の長さが1の上向きの正三角形は10個あり、1辺の長さが2の上向き正三角形は6個ある。
また1辺の長さが1の下向きの正三角形は6個ある。上向きの正三角形の総数は20であり、下向きの正三角形の総数は7である。こうした正三角形の個数に関して次の問いに答えよ。
(1)1辺の長さが1の正三角形を$5$段積んだとき、上向きと下向きとを合わせた正三角形の総数を求めよ。
(2)1辺の長さが1の正三角形を$n$段(ただし$n$は自然数)積んだとき、上向きの正三角形の総数を求めよ。
(3)1辺の長さが1の正三角形を$n$段(ただし$n$は自然数)積んだとき、下向きの正三角形の総数を求めよ。

問題文全文(内容文)：
nを自然数とするとき、数学的帰納法を用いて、次の等式を証明せよ。
1/2!+2/3!+3/4!+...+n/(n+1)!=1-1/(n+1)!