大学入試問題#638「よくある形」名古屋市立大学(2021) #数列 #級数

大学入試問題#638「よくある形」　名古屋市立大学(2021)　#数列　#級数

問題文全文(内容文)：
数列

{a_{n}}

が

a_{1} = 2, \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{n}{n + 2}

を満たすとき

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}

を求めよ

出典：2021年名古屋市立大学　入試問題

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B#名古屋市立大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
数列

{a_{n}}

が

a_{1} = 2, \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{n}{n + 2}

を満たすとき

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}

を求めよ

出典：2021年名古屋市立大学　入試問題

投稿日：2023.11.03

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

A, B, C

の3人が色のついた札を1枚ずつ持っている。初めに

A, B, C

の持っている札の色はそれぞれ赤、白、青である。

A

がサイコロを
投げて、3の倍数の目が出たら

A

は

B

と持っている札を交換し、
その他の目が出たら

A

は

C

と札を交換する。この試行を

n

回繰り返し
た後に赤い札を

A, B, C

が持っている確率をそれぞれ

a_{n}, b_{n}, c_{n}

とする。

(1)

n ≧ 2

のとき、

a_{n}, b_{n}, c_{n}

を

a_{n - 1}, b_{n - 1}, b_{n - 1}

で表せ。
(2)

a_{n}

を求めよ。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数列

{a_{n}}

に対して

\sum_{k = 1}^{n} a_{k} (n = 1, 2, 3, ・ ・ ・)

とし、さらに

S_{0} = 0

と定める。

{a_{n}}

は

S_{n} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} (n + 3) a_{n + 1}

(n=0,1,2,・・・)を満たすとする。
(1)

a_{1} = \frac{ア}{イ}

である。また、

n ≧ 1

に対して

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

であるから、関係式

(n + ウ) a_{n + 1} = (n + エ) a_{n} (n = 1, 2, 3, ・ ・ ・)

・・・(*)が得られる。数列

{b_{n}}

を

b_{n} = n (n + 1) (n + 2) a_{n} (n = 1, 2, 3, ・ ・ ・)

で定めると、

b_{1} = オ

であり、

n ≧ 1

に対して

b_{n + 1} = カ b_{n}

が成り立つ。ゆえに

a_{n} = \frac{キ}{n (n + 1) (n + 2)}

が得られる。
次に、数列

{T_{n}} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{a_{k}}{(k + 3) (k + 4)} (n = 1, 2, 3, ・ ・ ・)

で定める。
(2)(*)より導かれる関係式

\frac{a_{k}}{k + 3} - \frac{a_{k + 1}}{k + 4} = \frac{ク a_{k}}{(k + 3) (k + 4)} (k = 1, 2, 3, ・ ・ ・)

を用いると

T_{n} = A - \frac{ケ}{コ (n + p) (n + q) (n + r) (n + s)} (n = 1, 2, 3, ・ ・ ・)

が得られる。ただしここに

A = サ シ ス

であり、

p < q < r < s

として

p = セ, q = ソ, r = タ, s = チ

である。
(3)不等式

| T_{n} - A | < \frac{1}{10000 (n + 1) (n + 2)}

を満たす最小の自然数

n は n = ツテ

である。

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問題文全文(内容文)：
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問題文全文(内容文)：
正四面体の頂点を、点Pが1秒ごとに今ある頂点以外の頂点に等しい確率で移動する
点Pが最初に点Aにあるとき4秒後に点Aにある確率は？
＊図は動画内参照

2022西大和学園高等学校

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指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

a_{1} = 1

a_{n + 1} \frac{n a_{n}}{2 + n (a_{n} + 1)}

一般項を求めよ

出典：大阪大学　過去問

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