問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{3\sin\theta-\sin3\theta}{1+\cos\theta}d\theta$

出典：2014年信州大学理学部後期　入試問題

問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}O$を原点とする座標平面上に放物線$C:y=x-x^2$がある。$C$上の点$P(\frac{1}{2},\frac{1}{4})$における$C$の接線を$l$、$Q(1,0)$における$C$の接線を$m$とする。$l$と$y$軸、$m$と$y$軸の交点をそれぞれR、Sとする。
(1)$l,m$の方程式をそれぞれ求めよ。
(2)$C$の$0\leqq x \leqq 1$の部分と、2つの線分QS,OSで囲まれた図形の面積Aを求めよ。
(3)$C$の$0 leqq x \leqq 1$の部分と、線分OQで囲まれた図形を、$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積$V_1$を求めよ。
(4)$C$の$0 \leqq x \leqq \frac{1}{2}$の部分と、2つの線分PR,ORで囲まれた図形を、$y$軸のまわりに1回転させてできる立体$V_2$を求めよ。
(5)$C$の$0 \leqq x \leqq 1$の部分と、線分OQで囲まれた図形を、$y$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積$V_3$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$x$軸に平行な直線と曲線$y=\sin x~~(0\leqq x \leqq 3\pi)$が4点で交わるとき、この直線と曲線で囲まれた3つの部分の面積の和が最小となるような直線の方程式を求めよ。

問題文全文(内容文)：
【名古屋大学 2024】
袋の中にいくつかの赤玉と白玉が入っている。すべての玉に対する赤玉の割合を$p(0≦p≦1)$とする。袋から無作為に玉を一つ取り出して袋に戻す試行を行う。試行を$n$回行うとき、赤玉を$k$回以上取り出す確率を$f(k)$をおく。
(1) $n≧2$に対して、$f(1), f(2)$を求めよ。
(2) $k=1,2, ･･････,n$に対して、等式
$\displaystyle f(k)=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\int_0^px^{k-1}(1-x)^{n-k}dx$
を示せ。
(3) 自然数$k$に対して、定積分
$\displaystyle I=\int_0^{\frac{1}{2}}x^k(1-x)^k dx$
を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ $e$を自然定数の底とする。自然数$n$に対して、
$S_n$=$\displaystyle\int_1^e(\log x)^n dx$
とする。
(1)$S_1$の値を求めよ。
(2)すべての自然数$n$に対して、
$S_n$=$a_n e$+$b_n$,　ただし$a_n$, $b_n$はいずれも整数
と表されることを証明せよ。