問題文全文(内容文)：
$n$を$2$以上の整数とし、$a_1,a_2,a_3,・・・,a_n$を正の整数とする。
$a_1=1,{a_{i+3}}^3\lt 27{a_i}^4(i=1,2,3,・・・,n-1)$
$\displaystyle \sum_{i=1}^{n-1}\frac{a_i}{a_{i+1}}=\frac{a_1}{a_{2}}+\frac{a_2}{a_{3}}+\frac{a_3}{a_{4}}+・・・+\frac{a_{n-1}}{a_{n}}\lt 1$
であるとき、$a_n$のとりうる値の最大値は？

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \sum_{n=1}^{1000} [\frac{2^n}{3} ]$を求めて下さい。$[x]$は$x$をこえない最大の整数を表す。

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ $w$を$x^3$=1 の虚数解のうち虚部が正であるものとする。さいころを繰り返し投げて、次の規則で4つの複素数0, 1, $w$, $w^2$を並べていくことにより、複素数の列$z_1$, $z_2$, $z_3$, ... を定める。
・$z_1$=0 とする。
・$z_k$まで定まった時、さいころを投げて、出た目を$t$とする。このとき$z_{k+1}$を以下のように定める。
・$z_k$=0 のとき、$z_{k+1}$=$w^t$ とする。
・$z_k$≠0, $t$=1, 2のとき、$z_{k+1}$=0 とする。
・$z_k$≠0, $t$=3のとき、$z_{k+1}$=$wz_k$ とする。
・$z_k$≠0, $t$=4のとき、$z_{k+1}$=$\bar{wz_k}$ とする。
・$z_k$≠0, $t$=5のとき、$z_{k+1}$=$z_k$ とする。
・$z_k$≠0, $t$=6のとき、$z_{k+1}$=$\bar{z_k}$ とする。
ここで複素数$z$に対し、$\bar{z}$は$z$と共役な複素数を表す。以下の問いに答えよ。
(1)$ω^2$=$\bar{ω}$であることを示せ。
(2)$z_n$=0となる確率を$n$の式で表せ。
(3)$z_3$=1, $z_3$=$ω$, $z_3$=$ω^2$となる確率をそれぞれ求めよ。
(4)$z_n$=1となる確率を$n$の式で表せ。

2023九州大学文系過去問

問題文全文(内容文)：
各項に一定の数$d$を加えると,次の項が得られるとき,
この数列といい,$d$を①という.
このとき,すべての自然数$n$について,②$a_n+1=\quad $が成り立つ.
また,初項$a$,公差$d$の等差数列$\{a_n\}$の一般項は③$a_n=\quad $で
求めることができる.

次の等差数列の$\Box$に適する数を入れ,一般項を求めよ.

④$3,5,7,\Box,･･･$

⑤$\Box,11,8,5,･･･$

⑥$11,\Box,25,･･･$

問題文全文(内容文)：
数列$\left\{x_n\right\},　\left\{y_n\right\}$を次の式
$x_1=0,　x_{n+1}=x_n+n+2\cos\frac{2\pi x_n}{3}　　(n=1,2,3,\ldots)$
$y_{3m+1}=3m,　y_{3m+2}=3m+2,　y_{3m+3}=3m+4　　(m=0,1,2,3,\ldots)$
により定める。このとき、数列$\left\{x_n-y_n\right\}$の一般項を求めよ。

2022京都大学理系過去問