高校数学：数学検定準1級1次:問題3,4 :ベクトルの内積、複素数平面絶対値と角度

問題文全文(内容文)：
問題３　３つの単位ベクトル

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

が2

\vec{a} + 3 \vec{b} + 4 \vec{c} = \vec{0}

を満たすとき、

\vec{a}

と

\vec{c}

の内積

\vec{a} ・ \vec{c}

を求めなさい。
ただし、

\vec{0}

は零ベクトルを表します。

問題４　複素数

z ＝ － 2 － i

について、次の問いに答えなさい。ただし、iは虚数単位を表します。
　　　①　zの絶対値を求めなさい。
　　　②　zの偏角を

θ

とします。このとき、

s i n 4 θ

の値を求めなさい。

チャプター：

0:00 問題３の解説
2:47 問題４の解説

単元： #数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#平面上のベクトル#複素数平面#平面上のベクトルと内積#複素数平面#数学検定#数学検定準1級#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
問題３　３つの単位ベクトル

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

が2

\vec{a} + 3 \vec{b} + 4 \vec{c} = \vec{0}

を満たすとき、

\vec{a}

と

\vec{c}

の内積

\vec{a} ・ \vec{c}

を求めなさい。
ただし、

\vec{0}

は零ベクトルを表します。

問題４　複素数

z ＝ － 2 － i

について、次の問いに答えなさい。ただし、iは虚数単位を表します。
　　　①　zの絶対値を求めなさい。
　　　②　zの偏角を

θ

とします。このとき、

s i n 4 θ

の値を求めなさい。

投稿日：2023.12.07

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問題文全文(内容文)：

5

四面体OABCにおいて、

\vec{a}

\vec{O A}

\vec{b}

\vec{O B}

\vec{c}

\vec{O C}

とおき、次が成り立つとする。

∠

AOB=60°, |

\vec{a}

|=2, |

\vec{b}

|=3, |

\vec{c}

\sqrt{6}

\vec{b}

・

\vec{c}

=3
ただし、

\vec{b}

・

\vec{c}

は、2つのベクトル

\vec{b}

と

\vec{c}

の内積を表す。さらに、線分OCと線分ABは垂直であるとする。点Cから3点O, A, Bを含む平面に下ろした垂線をCHとし、点Oから3点A, B, Cを含む平面に下ろした垂線をOKとする。
(1)

\vec{a}

・

\vec{b}

と

\vec{c}

・

\vec{a}

を求めよ。
(2)ベクトル

\vec{O H}

を

\vec{a}

と

\vec{b}

を用いて表せ。
(3)ベクトル

\vec{c}

とベクトル

\vec{H K}

は平行であることを示せ。

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問題文全文(内容文)：

\vec{P A} + 3 \vec{P B} + 4 \vec{P C} = \vec{0}

を満たす

△ A B C

の内部に点

P

があるとき、点

P

はどのような位置にあるか。

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問題文全文(内容文)：
動画内の図のベクトル

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}

を成分で表し、それぞれ大きさを求めよ

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問題文全文(内容文)：
三角形ABCにおいて、

A B = 5, A C = 6

、角Aの大きさは

\frac{π}{3}

であるとする。
Aから辺BCに垂線AHを下ろす。このとき

B H : C H = ウ : エ

である。

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