問題文全文(内容文)：
${\large第5問}$
$O$を原点とする座標空間に2点$A(-1,2,0),　B(2,p,q)$がある。ただし、$q \gt 0$とする。
線分$AB$の中点$C$から直線$OA$に引いた垂線と直線$OA$の交点$D$は、線分$OA$を9:1に内分
するものとする。また、点$C$から直線$OB$に引いた垂線と直線$OB$の交点Eは、線分$OB$を$3:2$
に内分するものとする。

(1)点Bの座標を求めよう。
$|\overrightarrow{ OA }|^2=\boxed{\ \ ア\ \ }$である。また、$\overrightarrow{ OD }=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ イ\ \ }}{\boxed{\ \ ウエ\ \ }}\overrightarrow{ OA }$であることにより、
$\overrightarrow{ CD }=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}\overrightarrow{ OA }-\displaystyle \frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{\boxed{\ \ ク\ \ }}\overrightarrow{ OB }$と表される。$\overrightarrow{ OA } \bot \overrightarrow{ CD }$から
$\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }=\boxed{\ \ ケ\ \ }$　$\ldots$①
である。同様に、$\overrightarrow{ CE }$を$\overrightarrow{ OA },\overrightarrow{ OB }$を用いて表すと、$\overrightarrow{ OB } \bot \overrightarrow{ CE }$から
$|\overrightarrow{ OB }|^2=20$　$\ldots$②
を得る。

①と②、および$q \gt 0$から、$B$の座標は$\left(2,　\boxed{\ \ コ\ \ },　\sqrt{\boxed{\ \ サ\ \ }}\right)$である。


(2)3点$O,A,B$の定める平面を$\alpha$とし、点$(4,　4,　-\sqrt7)$を$G$とする。
また、$\alpha$上に点$H$を$\overrightarrow{ GH } \bot \overrightarrow{ OA }$と$\overrightarrow{ GH } \bot \overrightarrow{ OB }$が成り立つようにとる。$\overrightarrow{ OH }$を
$\overrightarrow{ OA },\overrightarrow{ OB }$を用いて表そう。
$H$が$\alpha$上にあることから、実数$s,t$を用いて
$\overrightarrow{ OH }=s\ \overrightarrow{ OA }+t\ \overrightarrow{ OB }$
と表される。よって
$\overrightarrow{ GH }=\boxed{\ \ シ\ \ }\ \overrightarrow{ OG }+s\ \overrightarrow{ OA }+t\ \overrightarrow{ OB }$
である。これと、$\overrightarrow{ GH } \bot \overrightarrow{ OA }$および$\overrightarrow{ GH } \bot \overrightarrow{ OB }$が成り立つことから、
$s=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }},　t=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }}{\boxed{\ \ タチ\ \ }}$が得られる。ゆえに
$\overrightarrow{ OH }=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }}\ \overrightarrow{ OA }+\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }}{\boxed{\ \ タチ\ \ }}\ \overrightarrow{ OB }$
となる。また、このことから、$H$は$\boxed{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$であることがわかる。

$\boxed{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$の解答群
⓪三角形$OAC$の内部の点
①三角形$OBC$の内部の点
②点$O,C$と異なる、線分$OC$上の点
③三角形$OAB$の周上の点
④三角形$OAB$の内部にも周上にもない点

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
2点A(a_1,a_2)、B(b_1,b_2)について
$\overrightarrow{ AB }=$①(＿＿＿＿,＿＿＿＿)
$|\overrightarrow{ AB }|=$②(＿＿＿＿,＿＿＿＿)

◎4点、$0(0,0)、A(3,0)、B(-1,2)、C(-2,-4)$について、 次のベクトルを成分で表し、それぞれの大きさを求めよう。

③$\overrightarrow{ OB }$

④$\overrightarrow{ AB }$

⑤$\overrightarrow{ CB }$

⑥$\overrightarrow{ BA }$

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$(1)1辺の長さが1の正六角形の頂点を反時計回りにA,B,C,D,E,Fとする。
このとき、2つのベクトル$\overrightarrow{ AC },\overrightarrow{ AD }$の内積$\overrightarrow{ AC }・\overrightarrow{ AD }$の値は$\boxed{\ \ ア\ \ }$である。

2021立教大学理学部過去問

問題文全文(内容文)：
点$O$を中心とし半径が$1$の円形のビリヤード台がある。台の縁の点$P_1$に大きさが無視できる球$Q$を置き、半径$P_1O$とのなす角が$\frac{\pi}{8}$の方向へ球$Q$を打ち出す。
球$Q$は、ビリヤード台の縁に当たると、図のように入射角と反射角が等しくなるように反射し、一度打ち出されたら止まらないものとする。
$i=1,2,3,\cdots$に対し、点$P_i$の次に球$Q$が縁に当たる点を$P_{i+1}$とし、$\overrightarrow{OP_i}=\overrightarrow{p_i}$とする。
（1）$\overrightarrow{p_3}=\fbox{あ}\overrightarrow{p_1}+\fbox{い}\overrightarrow{p_2},\overrightarrow{p_4}=\fbox{う}\overrightarrow{p_1}+\fbox{え}\overrightarrow{p_2}$である。
（2）$P_i=P_1となるiのうち、 i\geqq 2で最小のものは\fbox{ソ}である。$
（3）$線分P_1P_2とP_3P_4 との交点をA、線分P_1P_2とP_6P_7との交点をBとすると$
$\overrightarrow{OA}=\fbox{お}\overrightarrow{p_1}+\fbox{か}\overrightarrow{p_2},\overrightarrow{OB}=\fbox{き}\overrightarrow{p_1}+\fbox{く}\overrightarrow{p_2}$である。
（4）球$Q$が点$P_1$から打ち出されてから初めて再び点$P_1$に到達するまでに、中心$O$と球$Q$とを結ぶ線分$OQ$がちょうど2回通過する領域の面積は$\fbox{タ}+\fbox{チ}\sqrt{2}$である。

問題文全文(内容文)：

$\boxed{3}$

四面体$OABC$において、

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$とする。

点$D$は

$\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$を満たすとする。

このとき、以下の問いに答えよ。

(1)四面体$OABC$の体積を$V$とするとき、

四角錐$OABDC$の体積を$V$を用いて表せ。

(2)$\overrightarrow{OD}$を$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$で表せ。


(3)線分$AD$と線分$BC$の交点を$P$とするとき、

$\overrightarrow{OP}$を$\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$を用いて表せ。

(4)四面体$OABC$が$1$辺の長さ$1$の正四面体であるとき、

線分$OD$の長さを求めよ。

$2025$年東北大学文系過去問題