問題文全文(内容文)：

$x,y$座標がともに有理数である平面上の点を

有理点と呼ぶ。

平面上のすべての点は$2$つの有理点で定める

直線上に必ず存在するだろうか？
　　　　

問題文全文(内容文)：
慶応義塾大学過去問題
直線 $l:6-x=\frac{y+5}{2}=2-z$と
平面$α:z+y-z-1=0$
(1)lとαの交点の座標
(2)lを含み平面αに垂直な平面πの方程式
(3)lと、平面αとπの交線のなす角をθ(0°$\leqq$θ$\leqq$90°)
cosθの値

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{2}}$点Oを原点とするxyz座標空間に、2点A(2,3,1),\ B(-2,1,3)をとる。
また、x座標が正の点Cを、$\overrightarrow{ OC }$を$\overrightarrow{ OA }$と$\overrightarrow{ OB }$に垂直で、
$|\overrightarrow{ OC }|=8\sqrt3$となるように定める。
(1)$\triangle OAB$の面積は$\boxed{\ \ ア\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ イ\ \ }}$である。
(2)点Cの座標は$(\boxed{\ \ ウ\ \ },\ \boxed{\ \ エオ\ \ },\ \boxed{\ \ カ\ \ })$である。
(3)四面体OABCの体積は$\boxed{\ \ キク\ \ }$である。
(4)平面ABCの方程式は$\ x+\boxed{\ \ ケ\ \ }\ y+\boxed{\ \ コ\ \ }\ z-\ \boxed{\ \ サシ\ \ }=0$である。
(5)原点Oから平面ABCに垂線OHを下ろしたとき、点Hの座標は
$(\frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セソ\ \ }},\frac{\boxed{\ \ タ\ \ }}{\boxed{\ \ チ\ \ }},\frac{\boxed{\ \ ツテ\ \ }}{\boxed{\ \ トナ\ \ }})$
である。

2022慶應義塾大学商学部過去問

問題文全文(内容文)：
問題３　３つの単位ベクトル$\vec{ a },\vec{ b },\vec{ c }$が2$\vec{ a }+3\vec{ b }+4\vec{ c }=\vec{ 0 }$を満たすとき、$\vec{ a }$と$\vec{ c }$の内積$\vec{ a }・\vec{ c }$を求めなさい。
ただし、$\vec{ 0 }$は零ベクトルを表します。

問題４　複素数 $z＝－2－i$について、次の問いに答えなさい。ただし、iは虚数単位を表します。
　　　①　zの絶対値を求めなさい。
　　　②　zの偏角を$\theta$とします。このとき、$sin4\theta$の値を求めなさい。

問題文全文(内容文)：
整数からなる数列$\{a_n\}~(n=1,2,3,\cdots)$を次の規則1、規則2により定める。
（規則1）$a_1=0,a_2=1$である。
（規則2）$k=1,2,3,\cdots$について、初項から第$2^k$項までの値のそれぞれに$1$を加え、それらすべてを逆の順序にしたものが第$(2^k+1)$項から第$2^{k+1}$項までの値と定める。
例えば、初項と第2項までのそれぞれに$1$を加えて順序を逆にすると$2,1$を得る。これより、初項から第4項までは$0,1,2,1$となる。同様に、これらのそれぞれに$1$を加えて順序を逆にすると$2,3,2,1$となる。これより、初項から第8項までは$0,1,2,1,2,3,2,1$となる。
(1) 以上の規則により得られる数列$\{a_n\}$において、$a_{10}=\boxed{ア}$であり、$a_{16}=\boxed{イ}$である。また第$2^k$項$(k=5,6,7,\cdots)$の値は$\boxed{ウ}$である。

(2) $a_{518}$を求めたい。上記の規則2によれば、$1 \leqq i \leqq 2^k$を満たす$i$に対して$a_1$に$1$を加えた数と第$\boxed{エ}$項が等しいと定めている。実際に、$2^b < 518 < 2^{b+1}$を満たすような整数$b$は$\boxed{オ}$であることに注意すれば、$a_{518}=\boxed{カ}$である。
エの解答群
⓪ $2^k+i-1$ ① $2^k+i$ ② $2^k+i+1$ ③$2^k+2i$ ④ $2^k+2i+1$
⑤ $2^k-i-1$ ⑥ $2^{k+1}-i$ ⑦ $2^{k+1}-i+1$ ⑧ $2^{k+1}-2i-1$ ⑨ $2^{k+1}-2i$

(3) 点$\textrm{P}_k (k=1,2,3,\cdots)$を次のように定める。
数列$\{a_n\}$の初項から第$2^k$項に着目し、$a_n$を4で割った余りにしたがって、ベクトル$\vec{e_n}$を
\begin{eqnarray}
\vec{e_n}
=
\begin{cases}
(1,0) & a_nが4の倍数のとき \\
(0,1) & a_nを4で割った余りが1のとき\\
(-1,0) & a_nを4で割った余りが2のとき\\
(0,-1) & a_nを4で割った余りが3のとき
\end{cases}
\end{eqnarray}
によって定め、点$\textrm{P}_1$の位置ベクトルを$\overrightarrow{\textrm{OP}_1}=\vec{e_1}+\vec{e_2}$とし、点$\textrm{P}_k (k=2,3,4,\cdots)$の位置ベクトルを$\overrightarrow{\textrm{OP}_k}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}+\cdots+\vec{e_{2^k}}$とする。たとえば、$\overrightarrow{\textrm{OP}_1}=(1,0)+(0,1)+(-1,0)+(0,1)=(0,2)$である。$\{a_n\}$を定める規則に注目すると、$|\overrightarrow{\textrm{OP}_{k+1}}|$は$|\overrightarrow{\textrm{OP}_{k}}|$の$\boxed{キ}$倍であり、$\angle{\textrm{P}_k\textrm{OP}_{k+1}}=\boxed{ク}$である。このことから$\overrightarrow{\textrm{OP}_{99}}$は$(\boxed{ケ},\boxed{コ})$である。
キの解答群
⓪ $\dfrac18$ ① $\dfrac14$ ② $\dfrac12$ ③ $\dfrac{\sqrt{2}}2$ ④ $1$
⑤ $\sqrt2$ ⑥ $2$ ⑦ $2\sqrt2$ ⑧ $4$ ⑨ $8$
クの解答群
⓪ $15^{\circ}$ ① $30^{\circ}$ ② $45^{\circ}$ ③ $60^{\circ}$ ④ $75^{\circ}$
⑤ $90^{\circ}$ ⑥ $105^{\circ}$ ⑦ $120^{\circ}$ ⑧ $135^{\circ}$ ⑨ $150^{\circ}$
ケ、コの解答群
⓪ $-2^{99}$ ① $-2^{98}$ ② $-2^{49}$ ③ $-2^{48}$ ④ $0$
⑤ $1$ ⑥ $2^{48}$ ⑦ $2^{49}$ ⑧ $2^{98}$ ⑨ $2^{99}$