福田の数学〜立教大学2025理学部第1問(2)〜内積と絶対値の計算問題 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜立教大学2025理学部第1問(2)〜内積と絶対値の計算問題

問題文全文(内容文):

$\boxed{1}$

(2)$2$つの平面ベクトル$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$は、

$\vert \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \vert=4,\vert \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \vert =2$を満たすとする。

このとき、内積$\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}$の値は$\boxed{イ}$である。

また、$\vert 2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b} \vert^2+\vert 3 \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b} \vert^2$の値は$\boxed{ウ}$である。

$2025$年立教大学理学部過去問題
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問題文全文(内容文):

$\boxed{1}$

(2)$2$つの平面ベクトル$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$は、

$\vert \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \vert=4,\vert \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \vert =2$を満たすとする。

このとき、内積$\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}$の値は$\boxed{イ}$である。

また、$\vert 2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b} \vert^2+\vert 3 \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b} \vert^2$の値は$\boxed{ウ}$である。

$2025$年立教大学理学部過去問題
投稿日:2025.06.04

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問題文全文(内容文):
$\triangle ABC$において$\overrightarrow{ CA }=\vec{ a },\overrightarrow{ CB }=\vec{ b }$とする。
次の問いに答えよ。

(1)
実数$s,t$が$0 \leqq s+t \leqq 1,s \geqq 0,t \geqq 0$の範囲を動くとき、次の各条件を満たす点$P$の存在する範囲をそれぞれ図示せよ。
 (a)$\overrightarrow{ CP }=s\vec{ a }+t(\vec{ a }+\vec{ b })$
 (b)$\overrightarrow{ CP }=(2s+t)\vec{ a }+(s-t)\vec{ b }$

(2)
(1)の各場合に、点$P$の存在する範囲の面積は$\triangle ABC$の面積の何倍か。
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問題文全文(内容文):
$\Large\boxed{1}$ (4)座標空間に球面S:$(x-3)^2$+$(y+2)^2$+$(z-1)^2$=36 がある。球面Sが平面y=2 と交わってできる円をCとおく。
(i)円Cの中心の座標は$\boxed{\ \ ク\ \ }$であり、半径は$\boxed{\ \ ケ\ \ }$である。
(ii)円Cと平面x=3の交点をA,Bとし、AとB以外の球面S上の任意の点をPとする。三角形PABにおいて、辺PBを4:3に内分する点をD、線分ADを5:3に内分する点をMとし、直線PMと辺ABとの交点をEとする。このとき、AEの長さは$\boxed{\ \ コ\ \ }$である。ただし、Bのz座標はAのz座標よりも大きいとする。

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$\triangle ABC$と点$P$に対して、以下の等式が成立するとき、点$P$はどのような位置にあるか。
(1)$\overrightarrow{ PA }+\overrightarrow{ PB }+\overrightarrow{ PC }=\overrightarrow{ AC }$
(2)$\overrightarrow{ AP }+\overrightarrow{ BP }+\overrightarrow{ CP }=\vec{ 0 }$
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