問題文全文(内容文)：
tractrixと呼ばれる媒介変数で表される曲線が持つ性質に関する証明です。あまり有名ではないものの、高校数学で十分証明が可能なものになります。入試にも出題される可能性が高いかと思われますので、ぜひご覧ください。

問題文全文(内容文)：
媒介変数$t\ (t \geqq 0)$に対して、$x=\frac{4}{\sqrt3}t^{\frac{3}{2}},y=2t$で表される曲線C上に
点$P_1$と$P_2$がある。原点から点$P_1$までの曲線の長さは$\frac{28}{9}$であり、点$P_2$における曲線C
の接線の傾きは$\frac{1}{3}$である。以下の問いに答えよ。
(1)点$P_1$の座標$(x_1,y_1)$を求めよ。
(2)点$P_2$の座標$(x_2,y_2)$を求めよ。
(3)曲線Cとy軸、および2直線$y=y_1,y=y_2$で囲まれた図形を、y軸の周りに1回転
してできる回転体を考える。この回転体の体積を求めよ。

2022浜松医科大学医学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$

座標平面上の点

$A(0,0),B(0,1),C(1,1),D(1,0)$を考える。

実数$0\lt t \lt 1$に対して、

線分$AB,BC,CD$を$t:(1-t)$に内分する点を

それぞれ$S_t,T_t$とする。

さらに、線分$S_tT_t$を$t:(1-t)$に内分する点を

$U_t$とする。

また、点$A$を$U_0$、点$D$を$U_1$とする。

(1)点$U_t$の座標を求めよ。

(2)$t$が$0\leqq t\leqq 1$の範囲を動くときに

点$U_t$描く曲線と、

線分$AD$で囲まれた部分の面積を求めよ。

(3)$a$を$0\lt a\lt 1$を満たす実数とする。

$t$が$0\leqq t \leqq a$の範囲を動くときに点$U_t$が

描く曲線の長さを、$a$の多項式の形で求めよ。

図は動画内参照

$2025$年東京大学理系過去問題

問題文全文(内容文)：
$0\leqq t\leqq \dfrac{\pi}{2}$
曲線$x=\cos t,\cos 2t+1$
$x$軸,直線$x=1$で囲まれた図形の
面積$S$を求めよ.

問題文全文(内容文)：
2直線
$r(\sqrt3\cos\theta+\sin\theta)=4$
$r(\sqrt3\cos\theta-\sin\theta)=2$
の交点の極座標を求めよ。またこの2直線のなす鋭角も求めよ。
（出典　数研出版サクシード数学Ⅲ）