問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(微分の不等式への応用➁)

$x\gt0$のとき、不等式$\sqrt{1+x}\gt1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2$を証明せよ

問題文全文(内容文)：
a>0とし、f(x)=$x^3-3a^2x$とおく。
( 1 )x$ \geqq 1$でf(x)が単調に増加するための aについての条件を求めよ。
( 2 )次の 2 条件を満たす点(a,b)の動きうる範囲を求め、座標平面上に図示せよ。
条件 1 :方程式f(x)=bは相異なる 3 実数解をもつ。
条件 2 :さらに方程式f(x)=bの解を$\alpha<\beta<\gamma$とすると、$\beta ＞1$ である。

2018東京大学文過去問

問題文全文(内容文)：
次の関数を微分せよ。
（1）
$y=\sin x-\tan x$

（2）
$y=\cos(3x+1)$

（3）
$y=\cos x^2$

（4）
$y=\sin^3x$

問題文全文(内容文)：

$0$以上の実数の集合を$R'$とする。

$R'→R'$の関数$f(x)$が任意の$x,y$に対して

$xy(y)+yf(x)=f(x)f(y)(f(x)+f(y))$

を満たしている。

$f(x)$を求めて下さい。
　　　　

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{4}}\hspace{240pt}$
(1)$a$は$0 \lt a \leqq \displaystyle \frac{1}{2}$を満たす定数とする。$x \geqq 0$の範囲で不等式
$a\left(x-\displaystyle \frac{x^2}{4}\right) \leqq \log(1+ax)$　が成り立つことを示しなさい。

(2)$b$を実数の定数とする。$x \geqq 0$の範囲で不等式
$\log\left(1+\displaystyle \frac{1}{2}x\right) \leqq bx$
が成り立つような$b$の最小値は$\boxed{\ \ タ\ \ }$である。

(3)$n$と$k$を自然数とし、$I(n,k)=\lim_{t \to +0}$$\int_0^{\displaystyle \frac{k}{n}}\displaystyle \frac{\log\left(1+\displaystyle\frac{1}{2}tx\right)}{t(1+x)}dx$
とおく。$I(n,k)$を求めると、$I(n,k)=\boxed{\ \ チ\ \ }$である。また
$\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^nI(n,k)=\boxed{\ \ ツ\ \ }$　である。