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北海道大学過去問題
x,y実数
$x^2+y^2=1$を満たす
$\sqrt{3}{x}^2+2xy-\sqrt{3}{y}^2$の最大値と、そのときのx,yの値

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(1)三角関数について、次の等式が成り立つ。
$\cos 2\theta =\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}\mathrm{イ}}}{\sin }^2\theta +\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}$
$\sin 3\theta =\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}\mathrm{オ}}}{\sin }^3\theta +\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}\sin \theta$
(2)$0\leqq \theta <2\pi$のとき、関数
$y=-\frac{1}{12}\sin 3\theta +\frac{3}{8}\cos 2\theta -\frac{3}{4}\sin \theta$
は$\theta =\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}\pi$で最小値$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}\mathrm{コ}\mathrm{サ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}\mathrm{ス}}}}$をとり、
$\sin \theta =\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}\mathrm{ソ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}}$のとき最大値$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}\mathrm{ツ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}\mathrm{ト}}}}$
をとる。また、yの極致を与えるθの個数は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}}$である。

2022杏林大学医学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 4}}$ 以下の文章を読んで後の問いに答えよ。
三角関数$\cos x$, $\sin x$については加法定理が成立するが、逆に加法定理を満たす関数はどのようなものがあるだろうか。実数全体を定義域とする実数値関数$f(x)$, $g(x)$が以下の条件を満たすとする。
(A)すべてのx, yについて$f(x+y)$=$f(x)$$f(y)$-$g(x)$$g(y)$
(B)すべてのx, yについて$g(x+y)$=$f(x)$$g(y)$+$g(x)$$f(y)$
(C)$f(0)$$\ne$0
(D)$f(x)$, $g(x)$はx=0で微分可能で$f^{\prime }(0)$=0, $g^{\prime }(0)$=1
条件(A), (B), (C)から$f(0)$=1, $g(0)$=0 がわかる。以上のことから$f(x)$, $g(x)$はすべてのxの値で微分可能で、$f^{\prime }(x)$=$-g(x)$, $g^{\prime }(x)$=$f(x)$が成立することが示される。上のことから$\{f(x)+ig(x)\}$$(\cos x-i\sin x)$=1 であることが、実部と虚部を調べることによりわかる。ただし$i$は虚数単位である。よって条件(A), (B), (C), (D)を満たす関数は三角関数$f(x)$=$\cos x$, $g(x)$=$\sin x$であることが示される。
さらに、a, bを実数でb≠0とする。このとき条件(D)をより一般的な(D)', $f(x)$, $g(x)$はx=0で微分可能で$f^{\prime }(0)$=a, $g^{\prime }(0)$=b
におきかえて、条件(A), (B), (C), (D)'を満たす$f(x)$, $g(x)$はどのような関数になるか考えてみる。この場合でも、条件(A), (B), (C)から$f(0)$=1, $g(0)$=0が上と同様にわかる。ここで
$p(x)$=$e^{-\frac{a}{b}x}f(\frac{x}{b})$,　$q(x)$=$e^{-\frac{a}{b}x}g(\frac{x}{b})$
とおくと、条件(A), (B), (C), (D)において、$f(x)$を$p(x)$に、$g(x)$を$q(x)$におきかえた条件が満たされる。すると前半の議論により、$p(x)$, $q(x)$がまず求まり、このことを用いると$f(x)$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$, $g(x)$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}$が得られる。
(1)下線部①について、$f(0)$=1, $g(0)$=0であることを示せ。
(2)下線部②について、$f(x)$がすべてのxの値で微分可能な関数であり、
$f^{\prime }(x)$=$-g(x)$となることを示せ。
(3)下線部③について、下線部①、下線部②の事実を用いることにより、
$\{f(x)+ig(x)\}$$(\cos x-i\sin x)$=1 となることを示せ。
(4)下線部④について、条件(B), (D)において、$f(x)$を$p(x)$に、$g(x)$を$q(x)$におきかえた条件が満たされることを示せ。つまり$p(x)$を$q(x)$が、
(B)すべてのx, yについて、$q(x+y)$=$p(x)$$q(y)$+$q(x)$$p(y)$
(D)$p(x)$, $q(x)$はx=0 で微分可能で$p^{\prime }(0)$=0, $q^{\prime }(0)$=1
を満たすことを示せ。また空欄$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$, $\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}$に入る関数を求めよ。

2023九州大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
a,b,c,d,e,fは0より大きく1より小さい実数
$T(x,y)=\frac{x+y}{1-x\times y}$
$T(a,f)=T(b,e)=T(c,d)=1$のとき
$(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)(1+e)(1+f)=$

2021慶應義塾高等学校