問題文全文(内容文)：
サイコロを$n$回振って$(n\geqq 2)$出た目の$($最大値$)-($最小値$)=x$とする
（1）
$x=1$となる確率

（2）
$x=5$となる確率

出典：2017年京都大学　過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 2}}$ 白石と黒石を手元にたくさん用意する。表が白色、裏が黒色の硬貨1枚を用いて、机の上で以下の操作を繰り返し行う。ただし、最初の操作は机の上に石が1個もない状態から始めるものとする。
操作：効果を投げ、出た色と異なる色の石が机の上にあればその中の1個を取り除き、なければ出た色と同じ色の石を手元から机の上に1個置く。
とくに、机の上に石が1個もなければ、次の回の操作では出た色と同じ色の石を手元から机の上に1個置く。
(1)3回目の操作後に机の上に石がちょうど3個ある確率は$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}$である。
(2)6回目の操作後に机の上に石がちょうど2個ある確率は$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}\mathrm{エ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}\mathrm{カ}}}}$であり、石が1個もない確率は$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}\mathrm{ケ}}}}$である。
(3)6回目の操作後に机の上にある石が2個以下であったときに、8回目の操作後に机の上にある石も2個以下である条件付き確率は$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}\mathrm{サ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}\mathrm{ス}}}}$である。

問題文全文(内容文)：
1回に1個ずつ同時に入れかえる.
$n$回目に$A$である確率を求めよ.

2021香川大(医)過去問

問題文全文(内容文)：
◎男子3人と女子5人が1列に並ぶとき、次のような並び方は何通りある？

①両端が女子
②両端の少なくとも1人は男子
③男子3人が続いて並ぶ
④どの男子も隣合わない

問題文全文(内容文)：
複数の玉が人った袋から玉を 1 個取り出して袋に戻す事象を考える。どの玉も同じ確率で取り出されるものとし、nを自然数として、以下の間いに答えよ。
(1) 袋の中に赤玉 1 個と黒玉 2 個が入っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉をひとつ加え、合計 2 個の玉を袋に戻すという試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_n$とすると、$p_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}, p_3={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$
( 2 )袋の中に赤玉 3 個と黒玉 2 個が人っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、赤玉と黒玉を 1 個ずつ、合計 2 個の球を袋に戻す試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_n$とすると、次式が成り立つ。
$p_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オカ}}}{\boxed{\text{キク}}}}, p_3={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケコ}}}{\boxed{\text{サシ}}}}$
n回目の試行開始時点で袋に人っている玉の個数$M_n\mathrm{は}{M}_n=n+\boxed{\text{ス}}$であり、この時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数$R_n\mathrm{は}{R}_n=M_n\times P_n$と表される。n回目の試行において、黒玉が取り出された場合にのみ、試行後の赤玉の個数が施行前と比べて$\boxed{\text{セ}}$個増えるため、n+ 1 回目の試行開始時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数は$R_{n+1}=R_n+(1-P_n)\times \boxed{\text{セ}}$となる。したがって、
$P_{n+1}={\displaystyle \frac{n+\boxed{\text{ソ}}}{n+\boxed{\text{タ}}}}\times P_n+{\displaystyle \frac{1}{n+\boxed{\text{チ}}}}$
が成り立つ。このことから、$(n+3)\times (n+\boxed{\text{ツ}})\times (P_n-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}})$がnに依らず一定となる事が分かり、${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{P}_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}}$と求められる。

2023杏林大学医過去問